Metrischer Raum und diskrete Metrik

Question

ich habe folgende Aufgabe und habe keine Ahnung wie ich da vorgehen soll, wäre toll wenn mir jemand einen Hinweis gibt, das Thema ist nicht gerade mein Spezialgebiet  :)

Aufgabe:

Es seien (M₁, d₁) und (M₂, d₂) metrische Räume. Weiterhin sei d₁ die diskrete Metrik. Zeigen Sie, dass jede Abbildung f : (M₁, d₁) → (M₂, d₂) stetig ist.

lg

Comments

Womit willst du es denn machen? Folgenstetigkeit, $\varepsilon-\delta$, Urbilder offener Mengen ...?

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Naja, was wäre hier am geeignetsten? Ich bin in diesem Thema der größte Idiot, sorry.

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Das funktioniert alles. Du musst gucken, was eure Definition aus der Vorlesung ist bzw. welche von diesen Kriterien ihr in der Vorlesung hattet.

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Wir hatten schon Folgenstetigkeit und ε − δ allerdings kann ich mir keinen Reim daraus machen, wie ich diese Kriterien für diese Aufgabenstellung nutzen kann.

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Dann machen wir es jetzt mit dem $\varepsilon-\delta$-Kriterium (Folgenkriterium können wir danach noch machen, wenn du willst).

Schreib dir also mal auf, was bei diesem Kriterium zu zeigen ist, und die Definition der diskreten Metrik. Und dann versuchst du genau das zu zeigen.

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Alles klar, danke, werde es mal versuchen und dann später schreiben was ich raus habe.

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Die Definition der Diskreten Metrik ist ja (soweit ich mich nicht irre)

d: M x M → [0, ∞)

d(x,y) = 0 für x=y und 1 für x≠y

Und da wir ja das ε−δ Kriterium verwenden müssen wir zu aller erst ein δ finden mit:

| f(x) - f(x₀) |

da fängt allerdings schon das Problem bei mir an, ich soll also den Funktionswert an der Stelle x₀ von x Abziehen, aber was ist in dieser Aufgabe mein f(x) und f(x₀)?

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" müssen wir zu aller erst ein δ finden"

Nein musst du nicht. In der Definition steht "für alle $\delta>0$". Du musst das also allgemein für beliebiges $\delta$ machen.

In metrischen Räumen hast du keine Norm, dafür aber eine Metrik. $f(x)$ und $f(x_0)$ liegen in $M_2$; ihr "Abstand" ist $d_2(f(x), f(x_0)$.

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Ich verstehe das Thema irgendwie nicht, ist dann (M₂, d₂) mein ε, da ja das (M₂, d₂) den Abstand der 2 Punkte von der Menge M darstellt, oder wie genau ist das dann?

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Könntest du mir das vielleicht mal zeigen? Weil ich stehe komplett auf dem Schlauch und verstehe es überhaupt nicht mehr und danke für deine Hilfe.

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Schreib erstmal auf, was du überhaupt zeigen willst.

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Ich will ja Zeigen das jede Abbildung f : (M₁, d₁) → (M₂, d₂) stetig ist. 

Laut Definition muss ja folgendes gelten für die Stetigkeit:

∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈ℝ: |x-x₀|<δ ⇒ |f(x)-f(x₀)|<ε

Mein |f(x)-f(x₀)| ist ja eine Norm, ich habe aber eine Metrik, das heißt der "Abstand" ist dann d₂, ich muss jetzt ein allgemeines δ in abhängigkeit von ε finden also δ(ε) = ..., da ja dann von alleine mein ε daraus folgt.

Ist das richtig soweit? Oder denke ich da falsch?

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Eine Norm hat da nichts zu suchen. Es muss so lauten:

$\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0\ \forall x\in\mathbb R: d_1(x,x_0)<\delta\Rightarrow d_2(f(x), f(x_0))<\varepsilon$.

Das ist einfach die Definition von Stetigkeit im Punkt $x_0$ in metrischen Räumen.

Jetzt überleg' dir mal, wie in der diskreten Metrik "Bälle" $B_\delta(x_0):=\{x\in M_1\mid d_1(x,x_0)<\delta\}$ aussehen. (Tipp: Unterscheide $\delta>1$ und $\delta\leq 1$) Damit solltest du dann zu jedem festen $\varepsilon$ ein passendes $\delta(\varepsilon)$ finden.