Wie bestimmte ich die Taylorreihe von f(x) = 1/(1-x-x^2+x^3) im Punkt 0?

Question

ich soll die Taylorreihe von f(x) = 1/(1-x-x^2+x^3) im Punkt 0 bestimmen. Ich weiß, was eine Taylorreihe an sich ist, habe aber keine Ahnung, wie das hier funktionieren soll.

Muss ich die k-te Ableitung bestimmen, oder reicht es, wenn ich ein paar (z.B. die ersten drei) Ableitungen ausrechne?

Das Berechnen der Ableitungen mithilfe der Quotientenregel wird ab der dritten Ableitung auch wirklich unschön. Gibt es da einen Trick? Wie bestimmt man allgemein eine k-te Ableitung?

Danke für eure Antworten.

Comments

Möglicherweise hilft hier die Partialbruchzerlegung$$\frac1{1-x-x^2+x^3}=\frac14\cdot\frac1{1+x}+\frac14\cdot\frac1{1-x}+\frac12\cdot\frac1{(1-x)^2},$$unter Verwendung der Summenformel für die geometrische Reihe \(\dfrac1{1-x}=\sum\limits_{k=0}^\infty x^k\).

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vor einer solchen aufgabe steht normalerweise sowas wie "2. ordnung" oder "3. ordnung"

das sagt dir wie oft du ableiten sollst

Answer 1

Mache eine Partialbruchzerlegung

1/(1 - x - x^2 + x^3) = 1/(2·(x - 1)^2) - 1/(4·(x - 1)) + 1/(4·(x + 1))

Jeden Summanden für sich kannst du als Reihe schreiben oder? Dann versuche mal die Summe als Reihe zu schreiben.

Comments

 1/(2·(x - 1)²) = 1/(2•(1-x)^2) = 1/2• (∑x^k)^2

 - 1/(4·(x - 1)) = 1/(4•(1-x)) = 1/4• ∑x^k

Passt das soweit?

Wie funktioniert das für 1/(4·(x + 1)) ?

Da kann ich ja nicht einfach die Summenformel für die geometrische Reihe anwenden, oder? 

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Lass dir von mir aus zunächst von Wolframalpha die Summendarstellung ausrechnen. Dann schau mal ob du da auch selber drauf kommst

a * 1/x Solltest du als summendarstellung schaffen

a * 1/x^2 ist fast das gleiche außer das man für x einfach x^2 einsetzt.

a * 1/(x + b) ist auch das gleiche außer das man für x einfach x + b einsetzt.

Answer 2

  Ich hatte eben nicht nur einen ganz seltsamen Formatfehler, sondern auch einen WLAN Absturz. Da er meine Sicherungskopie nicht lesen kann - bei Mathelounge ist man nicht Word kompatibel - markiere ich die ganzen Absätze; bitte scanne dir das dokument ein - Absatz.
   Ich lese dich grade. die Quotientenregel ( QR ) ist ABSOLUT TÖDLICH ; ihr müsst sie MEIDEN WIE DIE PEST .  Beginnen wir zunächst mit einem Ablenkungsmanöver; wir bringen alles auf ganz Rational. Absatz

     f  (  x  )  :=  1 / ( x  ³  -  x  ²  -  x  +  1  )               (  1a  )     Absatz

      (  x  ³  -  x  ²  -  x  +  1  )  f  (  x  )  =  1                 (  1b  )   Absatz

                                           f  (  0  )  =  1                 (  1c  )     Absatz




    Ich habe mir überlegt, dass du die gesuchten Ableitungen im ===> Gaußschen Dreiecksformat ( G3F ) bekommst, beginnend mit Gleichung ( 1c ) Dies liegt daran, dass es eine verallgemeinerte Produktregel n-ter Ordnung gibt; siehe den ===> D-Operator in Courant Bd. 2 . dieser D-Operator gehorcht dem ===> binomischen Lehrsatz mit seinen ===> Binominalkoeffizienten.  Absatz





       D  ^ n  (  u  v  )  =    SUMME  (  n  k  )  D  ^  k  u  D  ^  (  n  -  k  )  v         (  2  )     Absatz
                                          




      D.h, die n-te Ableitung von ( 1c ) bildest du aus dem Stand über ( 2 ) ohne Zwischenschritte. Etwas Vergleichbares gibt es bei der QR überhaupt nicht. Genau wie es Menschen gibt, deren Denkstil du als psychisch gestört oder krank bezeichnen würdest, stellt diese QR eine psychisch kranke Herangehensweise an die Analysis dar. Ihr schwerst wiegender - wenn auch nicht einziger - Nachteil ist das Problem der " falschen Asymptotik "  Absatz
   Es lässt sich nämlich nachweisen, dass die Ableitung einer Polstelle 4 711. Ordnung immer einen Pol der Ordnung 4 712 ergibt. Dagegen beschert dir der v ² - Nenner der QR einen scheinbaren Pol der Ordnung 2 * 4 711 = 9 422 ( ! )  Absatz




         (  u  v  )  '  =  u  '  v  +  u  v  '         (  3a  )  Absatz

         (  x  ³  -  x  ²  -  x  +  1  )  f  '  (  x  )  +  (  3  x  ²  -  2  x  -  1  )  f  (  x  )  =  0     (  3b  )  absatz



    Ganz im Sinne des G3F machen wir Gebrauch von dem Ergebnis ( 1c ) ; es wird eingesetzt x = 0 . Absatz



    f  '  (  0  )  -  f  (  0  )  =  f  '  (  0  )  -  1  =  0  ===>  f  '  (  0  )  =  1     (  3c  )   Absatz

    (  u  v  )  "  =  u  "  v  +  2  u  '  v  '  +  u  v  "        (  4a  )   Absatz

   (  x  ³  -  x  ²  -  x  +  1  )  f  "  (  x  )  +  2  (  3  x  ²  -  2  x  -  1  )  f  '  (  x  )  +  (  6  x  -  2  )  f  (  x  )  =  0       (  4b  )    Absatz

             f  "  (  0  )   -  2  -  2  =  0  ===>   f  "  (  0  )  =  4        (  4c  )   Absatz