Question

Geben Sie alle Homomorphismen φ : (Z6, +6) → (Z10, +10) an 

Answer 1

1 ist ein Generator von ℤ₆ , also $$\phi (k)=\phi (\underset{k}{\underbrace{1+1+\dots +1+1}})$$ Da φ ein Homomorphismus haben wir dass $$\phi (k)= \underset{k}{\underbrace{\phi (1)+\phi (1)+\dots +\phi (1)+\phi (1)}}=k\phi (1)$$

Comments

Wie ist \(\phi\) definiert?

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Da φ(1)∈ℤ₁₀  gibt es ein α∈ℤ₁₀ sodass φ(1)=α.

Also haben folgende Abbildung:

$$\phi : \mathbb{Z}_6 \rightarrow \mathbb{Z}_{10} \\ k\mapsto ka$$ 

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Bleibt also nur noch die Frage wie viele verschiedene a in Frage kommen.

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Wir haben dass $$6 \equiv 0 \pmod 6$$ 

Also $$\phi (6)\equiv \phi (0) \pmod {10} \Rightarrow 6a\equiv 0\pmod {10}$$ 
Also suchen wir alle a∈ℤ₁₀ sodass $$6a\equiv 0\pmod {10}$$ 
Diese Kongruenz hat eine Lösung wenn $$10 \mid 6a $$

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Ich hab da jetzt durch ausrechnen a=5 herausbekommen. Folgt daraus, dass mein φ(1)=5 ist?

Denn 10 ist gar nicht in (ℤ₈)

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Von 6a ≡ 0 (mod 10) bekommen wir a = 5n, wobei n eine ganze Zahl ist. Also bekommen wir $$\phi (1)=0 \ \text{ oder } \phi (1)=5$$

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Ich hab das mal für φ: (ℤ_8, +₈ )→ (ℤ_12, +_{12) ausprobiert (mit dem Schema da oben). Aber das geht nicht da man uns schon angegeben hat, dass φ(1)=3 ist.}

_{Kannst du mir da irgendwie weiterhelfen  bzw. . wo der Fehler ist?}

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In diesem Fall haben wir folgendes: $$\phi : \mathbb{Z}_8\rightarrow \mathbb{Z}_{12} \\ k\mapsto ka$$ Wir haben dass $$8\equiv 0 \pmod 8 \Rightarrow \phi (8)\equiv \phi (0) \pmod {12}\Rightarrow 8a\equiv 0\pmod {12} \\ \Rightarrow a=3n, n\in \mathbb{Z}$$ Somit bekommen wir $$\phi (1) =0 \ \text{ oder } \phi (1)=3 \ \text{ oder } \ \phi (1)=6 \ \text{ oder } \ \phi (1)=9 $$

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Alles klar. Dankeschön :) Jetzt hab ich das verstanden.

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ehm... für φ(1) - φ(6) hab ich abwechselnd die Werte 5 und 0 raus. Ist das richtig? Also nur damit ich weiß, dass ich auch richtig gerechnet habe.

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Im ersten Fall meinst du? Ja, das stimmt, wir bekommen da: $$\phi (1)=0 \ \text{ oder } \ \phi (1)=5$$

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Also für die geraden Zahlen 2, 4, 6 hab ich als Funktionswert 0 und für die geraden Zahlen hab ich 5 raus.

Das verwirrt mich ein wenig.