Question

Sind die folgenden Relationen 1. symmetrisch, 2. reflexiv und 3. transitiv?

R = {(a,b) ∈ Z² | a² = b²}

Meine Lösung:

Reflexiv ja, da x² = x² für alle x ∈ ℝ²
Symmetrisch ja, da aus x² = y² folgt y² = x²
Transitiv ja, da aus x² = y² folgt y² = z² daraus folgt a² = z².

Ist das richtig?

Mein Problem: Ich versuche mir immer vorzustellen, Zahlen einzusetzen. aRa wären z.B. immer die gleichen Werte. 2² = 2², das ist klar. Aber ich frage mich, wie eine Relation mit zwei verschiedene Werten für x,y eine Symmetrie ergeben kann, denn x² != y².

Wie muss man hier denken bzw. vorgehen?

Ich hoffe mein Problem ist einigermaßen verständlich.

Answer 1

Reflexiv ja, da x² = x² für alle x ∈ ℝ² 

du meinst für alle \(x \in \mathbb{Z} \) (auch wenn es natürlich auch für reelle Zahlen gilt, aber hier geht es nun mal um ganze ;), das Quadrat hat bei der Menge auch nix mehr zu suchen).

Symmetrisch ja, da aus x² = y² folgt y² = x² 

So sicher wie das Amen in der Kirche.

Transitiv ja, da aus x² = y² folgt y² = z² daraus folgt a² = z².

Buchstabensalat. Richtig wäre: Aus \(x^2=y^2 \) und \(y^2=z^2 \) folgt \(x^2 = z^2\).

Wie du siehst folgen alle Eigenschaften aus den Eigenschaften der Gleichungsrelation.

Was die Symmetrie betrifft: Diese Eigenschaft bedeutet einfach nur, dass die Reihenfolge der Elemente die in Relation stehen keine Rolle spielt. Insbesondere betrachtet man dabei ja nach Voraussetzung schon Elemente die in Relation stehen und nicht irgendwelche beliebigen.. Es ist \(2^2 = (-2)^2\) genauso wie \((-2)^2 = 2^2\). Die Relation "<" auf den reellen Zahlen ist zum Beispiel nicht symmetrisch.

Gruß

Comments

Vielen Dank Yakyu, sehr verständlich erklärt!