Question

Sei f eine auf dem Intervall I := [a; b] stetig differenzierbare Funktion mit
f´(a) = f´(b) = 0 und f´(x)≠0 für a < x < b. Zeigen Sie: Dann ist f entweder
streng monoton steigend auf I oder streng monoton fallend.

Answer 1

f´(a) = f´(b) = 0 und f´(x)≠0 für a < x < b

Dann gilt entweder für alle x mit a < x < b   f ' (x) > 0

oder  für alle x mit a < x < b   f ' (x) < 0

Denn = 0 gibt es ja nicht, und hätten  etwa bei zwei verschiedenen

x1 x2 aus ] a;b [      f '(x1) und f'(x2) verschiedenen Vorzeichen,

dann gäbe es wegen des Zwischenwertsatztes ( f ' ist ja stetig.)

ein x zwischen x1 und x2 also   a < x < b  mit f ' (x) = 0

Widerspruch !

Wenn aber f ' (x) für alle  a < x < b  das gleiche Vorzeichen

hat, dann ist f auf dem Intervall streng monoton.