Aufgabe zu Differenzierbarkeit. lim ((f(x)g(a) - f(a)g(x)) /( x-a))

Question

Hallo ich habe die Aufgabe :

für a ) Das ist ein Typ : "0/0" , Das bedeutet Ich kann De´l Hospital anwenden .Den Zähler und Nenner getrennt ableiten .Jedoch nach welcher variable? a oder x?

für b ) ich sehe nur das , dieser Limes ebenso ein Typ "0/0/ wird. aber weiß leider nicht wie ich das beweisen kann .

Ich wäre dankbar für Hilfe ! :)

 

Comments

Wenn Du in (b) eine einfache Form von L'Hospital zeigen sollst, dann sollst Du ihn bei (a) garantiert nicht verwenden. Bei (a) hilft eine produktive Null, aehnlich wie im Beweis der Produktregel, bei (b) die Formel \(f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+o(x-a)\).

Answer 1

a) $$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)g(a)-f(a)g(x)}{x-a}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)g(a)-f(a)g(a)+f(a)g(a)-f(a)g(x)}{x-a}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)g(a)-f(a)g(a)}{x-a}-\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(a)g(x)-f(a)g(a)}{x-a}$$ Da f(a) und g(a) unabhängig von x sind ist dies gleich $$g(a)\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f(a)\lim_{x\rightarrow a}\frac{g(x)-g(a)}{x-a}=g(a)f'(a)-f(a)g'(a)$$ 
Oder wie du vorgeschlagen hast, kannst du De L'Hospital anwenden indem du den Nenner und den Zähler jeweils nach x ableitest.