Problem mit Integrationsgrenzen :/

Question

ich verstehe folgendes nich ganz:

Die blaue fläche ist ja F(b) - F(a). Aber wie groß ist denn F(b) bzw. F(a) genau? Ich meine amit die differenz der beiden Flächen die blau ergibt müsste F(b) von -oo bis b gehen und F(a) von -oo bis a? Und ich kann mir nicht ganz vorstellen wie man undenlich große flächen voneinander abzieht.

Also was sagt denn ganz allgeimein betrachtet F(x) aus, die fläche von -oo bis zum jeweiligen x?

Und dann noch eine kleine Bonusfrage^^:

was bedeutet das "dx" in der integralschreibweise? ich weiß dass das"x" die integrationsvariable ist und das "d" für Differential steht. Aber was bedeutet es genau?

!

Answer 1

F(b) ist nichts anderes als der Wert der Stammfunktion von f(x) an der Stelle x = b.

F(b) ist nicht das Integral von f(x) zwischen -∞ und b.

dx wird in der Integralrechnung nur noch als Notationsbestandteil angesehen, siehe Differential (Mathematik) bei Wikipedia.

Comments

danke für deine antwort."F(b) ist nichts anderes als der Wert der Stammfunktion von f(x) an der Stelle x = b."Und was sagt dieser Wert aus? es muss sich doch um irgendeine fläche handeln, da, um die blaue fläche zu berechnen, zwei flächen ( F(b) - F(a) ) abgezogen werden?

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Ich meine bei der Ableitungsfunktion sagt der wert die steigung an der jeweiligen stelle x aus.

Wie ist das denn mit der Stammfunktion? Der Wert der stammfunktion an der jeweiligen stelle x muss doch eine fläche sein oder? Warum rechnet man denn sonst F(b) - F(a) ?

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> es muss sich doch um irgendeine fläche handeln, da, um die blaue fläche zu berechnen, zwei flächen ( F(b) - F(a) ) abgezogen werden?

F(b) ist ein Flächeninhalt, weil im Ausdruck F(b) - F(a) zwei Flächeninhalte subtrahiert werden? Das ist ein Zirkelschluss.

Bei F(b) kann es sich überhaupt nicht um eine konkrete Fläche handeln. Ist nämlich F₀(x) eine Stammfunktion von f(x), dann ist auch F_c(x) := F₀(x) + c für jedes c∈ℝ eine Stammfunktion von f(x). Es gilt nämlich F_c'(x) = F₀'(x) + 0 = F₀'(x) = f(x). Mit anderen Worten, wenn du zu einer Stammfunktion von f(x) eine beliebige Zahl addierst, dann erhältst du wieder eine Stammfunktion von f(x). Welche dieser Stammfunktionen ist jetzt die richtige, um F(b) als die Fläche aufzufassen, die du dir vorstellen möchtest? Antwort: keine; F(b) als Fläche aufzufassen ergibt keinen Sinn.

Andererseits: Sei a eine Nullstelle der Stammfunktion F(x) von f(x). Dann ist F(b) die (orientierte) Fläche unter dem Graphen von f zwischen a und b. Das liegt dran, dass ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) = F(b) - 0 = F(b) ist. Aber was ist, wenn F überhaupt keine Nullstellen hat?