Integrationsgrenzen bestimmen von dieser Menge

Question

Aufgabe:

Ich habe ein Integral gegeben, das ich berechnen soll. Die Integrationsgrenzen soll ich durch folgende Menge bestimmen:

A={(x,y)∈ℝ² | 0≤x≤1,0≤y≤1, 0<x² +y² ≤1}

Problem/Ansatz:

Ich nehme x von 0 bis 1. Jetzt habe ich aber das Problem, dass für y 0 bis \( \sqrt{1-x^2} \) falsch ist, weil ich dann ja nicht mehr x bis 1 integrieren darf. Wie kann ich dieses Problem lösen und die richtigen Integrationsgrenzen finden?

Comments

0<x² +y² ≤1 gilt für alle Punkte innerhalb und auf dem Rand eines Einheitskreises (ohne den Mittelpunkt). Das sind also unendlich viele Paare von Integrationsgrenzen.

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Ok, aber wie kann ich das dann berechnen?

Answer 1

Aloha :)

Du liegst schon richtig. Hier ist jedoch die Reihenfolge der Integration wichtig.$$\int\limits_0^1dx\int\limits_0^{\sqrt{1-x^2}}f(x,y)\,dy$$Du integrierst \(f(x,y)\) zuerst über \(dy\) in den angegebenen Grenzen und hälst dabei \(x\) fest. Dann setzt du in das Ergebnis die Obergrenze und Untergrenze für \(y\) ein. Anschließend sind alle \(y\) verschwunden und du kannst über \(dx\) integrieren.

Comments

Tut mir leid, aber das kann nicht stimmen. Denn dann wäre der Fall, dass x UND y gleich 0 sind enthalten und das ist in den Bedingungen verboten. EIne Überprüfung mit Hilfe von Maple zeigte mir außerdem, dass das Integral mit deisen Grenzen unberechenbar ist.

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Dann probier es mal andersrum, also zuerst nach \(x\) und dann nach \(y\) integrieren.$$\int\limits_0^1dy\int\limits_0^{\sqrt{1-y^2}}f(x,y)\,dx$$Oder du lüftest das große Geheimnis und schreibst einfach mal das konkrete Integral hin, das du berechnen sollst ;)

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Das Integral von \( \frac{1}{1+x^2+y^2} \) und nein, andersrum ist es mit diesen grenzen auch nicht lösbar^^

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Ach, guckst du. Jetzt ist alles klar. Das Integral kannst du in Polarkoordinaten sofort lösen. In Polarkoordinaten ist:

$$\binom{x}{y}=\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}$$Die Bedingung \(0<x^2+y^2\le1\) bedeutet, dass \(r\in]0;1]\) liegt. Die Bedingungen \(0\le x\le1\) und \(0\le y\le1\) bedeuten, dass du dich im ersten Quadranten befindest, also \(\varphi\in[0;\frac{\pi}{2}]\). Das Flächenelement transformiert sich beim Übergang zu Polarkoordinaten gemäß: \(dx\,dy=r\,dr\,d\varphi\). Damit lautet das Integral:

$$I=\int\limits_0^{\pi/2}d\varphi\int\limits_0^1dr\frac{1}{1+r^2}r=\int\limits_0^{\pi/2}d\varphi\left[\frac{1}{2}\ln\left(1+r^2\right)\right]_0^1$$$$\phantom{I}=\frac{1}{2}\ln(2)\int\limits_0^{\pi/2}d\varphi=\frac{1}{2}\ln(2)\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{4}\ln(2)$$

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Vielen Dank^^