Eine Bakterienart vermehrt sich so, dass sich alle 3 Stunden die von ihr
bedeckte Fläche verdoppelt. Zu Beginn der Beobachtung sind 12 cm² bedeckt.
Erläutern Sie, warum die Abhängigkeit durch eine
Exponentialfunktion f(x) = a * bx beschrieben werden kann,
wobei x die Zeit seit Beobachtungsbeginn in
Stunden angibt! Ermittle a und b!
Die Vermehrung erfolgt nach
12 cm^2 zu Anfang
3 Std : 12 * 2 ( Verdoppelung ) = 12 * 2^1
6 Std : Stand bei 3 Std * 2 = 12 * 2 * 2 = 12 * 2^2
9 Std : Stand bei 6 Std * 2 = 12 * 2 * 2 * 2 = 12 * 2^3
Die Hochzahl ist immer x/3
f ( x ) = 12 * 2^{x/3}
Die Vermehrung erfolgt exponentiell. Die Variable x steht im Exponenten.
Die Exponentialfunktion soll die allerdings die Form
f ( x ) = 12 * b^x haben
Also
b^x = 2^{x/3} | ln
ln ( b^x ) = ln ( 2^{x/3} )
x * ln ( b ) = x /3 * ln ( 2 ) | : x
ln ( b ) = 1/3 * ln ( 2 )
ln ( b ) = 0.231 | e hoch
b = e^=.231
b = 1.26
f ( x ) = 12 * 1.26^x
Probe
f ( 3 ) = 12 * 1.26^3 = 24
f ( 6 ) = 12 * 1.26^6 = 48
stimmt alles.
