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Es sind folgende Behauptungen gegeben und ich soll lediglich entscheiden, ob diese wahr sind.

Sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und Φ ∈ EndK(V).

1.

 Zwei quadratische Matrizen gleicher Größe sind ganau dann konjugiert zueinander, wenn sie dasselbe charakteristische Polynom haben.

2.

Die Menge der diagonalisierbaren Matrizen in $M_n(K)$ ist ein Untervektorraum.

3.

Eigenwerte zu paarweise verschiedenen Eigenvektoren sind linear unabhängig.

4.

Sei $\phi$ diagonalisierbar. Dann ist jedes Element aus $V$ Eigenvektor.

5.

$\phi$ ist injektiv genau dann, wenn $0$ kein Eigenwert ist.

Ich glaube dass die 1. und 3. Aussage richtig ist, bin mir da aber nicht wirklich sicher.

Vielen Dank :)

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Zu 1. So wäre ja jede quadratische Matrix konjugiert zu sich selbst.

Stimmt das denn?

Zu 3. Eigenwerte sind doch nicht linear unabhängig (voneinander). Allenfalls Eigenvektoren.

Ich meinte dass 1. und 3. falsch ist ^^

jede matrix ist natürlich nicht konjugiert zu sich selbst :)

Eigenvektoren zu paarweise verschiedenen eigenwerten sind linear unabhängig. andersrum gilt dies nicht, da eignvektoren nicht linear unabhängig sind

andersrum gilt dies nicht, da eigenwerte nicht linear unabhängig sind

ich und meine flüchtigkeitsfehler ^^danke

Kannst du mir vielleicht noch nen Tipp zu einer anderen Aussage geben?

1 Antwort

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zu 2:

wenn du zwei diagonalisierbare addierst ist die Summe auch diagonalisierbar

und Vielfache von so einer Matrix auch. Also Untervektorraum

4 falsch  Es gibt dann zwar eine Basis von Eigenvektoren aber die gehören

i.d. Regel zu unterschiedlichen Eigenwerten.

5 ja.  Denn dann ist der Kern = {0} und das heißt injektiv.

Avatar von 287 k 🚀

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