Relationen auf Reflexivität, Symmetrie, Transitivität und Anti-Symmetrie untersuchen

Question

Gegeben ist die Menge M={1,2,3}. Prüfen Sie, ob die folgende in M definierten Relationen reflexiv, symmetrisch, transitiv oder antisymmetrisch ist.

R:={(1,1),(1,2),(1,3),(3,3)}

S:={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3)}

T:={(1,1),(1,2),(2,2),(2,3)}

Laut der Lösung gilt Folgendes:

R ist nicht reflexiv, nicht symmetrisch aber transitiv und antisymmetrisch.

S ist reflexiv, symmetrisch und transitiv aber nicht antisymmetrisch.

T ist nicht reflexiv, nicht symmetrisch und nicht transitiv aber antisymmetrisch.

Reflexivität und Symmetrie kann ich bei allen 3 Beispielen nachvollziehen.

Nun zu meinem Problem:

Meiner Meinung nach ist R nicht transitiv, da  diese Eigenschaft für alle x,y,z ∈ R gelten muss: 3R3∧1R1⇒3R1, da (3,1)∉R ist ⇒ nicht transitiv.

Selbes Problem bei der Anti-Symmetrie:

1R2∧2R1⇒2=1. Das stimmt nicht, denn 2≠1 und somit keine Anti-Symmetrie.

Die selben Probleme ergeben sich bei den anderen beiden Relationen.

Könnte mir jemand helfen meinen Denkfehler zu finden, wenn es einer ist?

Answer 1

Meiner Meinung nach ist R nicht transitiv, da  diese Eigenschaft für alle x,y,z ∈ R gelten muss:

Bei der Überprüfung von "transitiv"  müssen die beiden rot markierten Stellen gleich sei.

3R3∧1R1⇒3R1, da (3,1)∉R ist ⇒ nicht transitiv.

Du hast an den roten Stellen verschiedene Zahlen, deshalb ist das kein

Gegenbeispiel.

Selbes Problem bei der Anti-Symmetrie:

1R2∧2R1⇒2=1. Das stimmt nicht, denn 2≠1 und somit keine Anti-Symmetrie.

ABER  die Vor.    1R2∧2R1 ist nicht erfüllt, es gilt zwar

  1R2   aber nicht  2R1

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Danke für die Hilfe.

Meine Fehler sind mir jetzt klar geworden!