Question

Untersuchen Sie die folgenden Relationen auf Reflexivität, Symmetrie, Transitivität und Vollständigkeit. 
a) Sei A = N und R = {(a, b) ∈ A × A|∃k∈N : a · k = b}

Reflexivität:

Sei a∈N beliebig. Es gilt a*a=a, also gilt: (a,a)∈R. R ist nicht reflexiv. Gegenbeispiel: 2*2=4

Symmetrie:

Dafür wäre ich dankbar, wenn mir jemand helfen könnte. Meine Ansätze:

Sei (a,b)∈NxN so gewählt, dass a*k=b mit k∈N gilt: ....

Transitivität:

Seien (a,b),(b,c)∈AxA so gewählt, dass (a,b)∈R und (b,c)∈R gilt, d.h. ∃k1, k2∈N

a*k1=b     und     b*k2=c

weiter weiß ich leider auch nicht ...

Comments

Deine Ausführungen zur Reflexivität erscheinen mir undurchsichtig und du solltest die erklären.

Zur Transitivität:

Seien (a,b), (b,c) ∈ AxA so gewählt,
dass (a,b) ∈ R und (b,c) ∈ R gilt,
d.h. ∃k1, k2 ∈ N mit

a*k1=b   und   b*k2=c.

Setze die erste Gleichung in die zweite ein.

---

R ist nicht reflexiv, da a*a=a nicht gilt, wenn a∈N ist, da wie im Gegenbeispiel verdeutlicht für a=2, 2*2=4 ist und somit a*a=a nicht stimmt.

Dann habe ich bei der Transitivität:

a*k1*k2=c

---

R ist reflexiv, denn mit k=1 ist a*k=a für alle a aus N. Dein Gegenbeispiel ist keins.

Zur Transitivität: Setze noch k:=k1*k2, dann folgt a*k=c und weiter (a,c) aus R.

Answer 1

Reflexivität:

Sei a∈N beliebig. Es gilt a*a=a, also gilt: (a,a)∈R. R ist nicht reflexiv. Gegenbeispiel: 2*2=4

Das stimmt so nicht. Es heißt doch:

Es gibt ein k mit   a*k=b .

Für (a,a) gibt es das doch:   a*1 = a   ,

also reflexiv.

Symmetrie:  Das hast du ganz gut begonnen:

Sei (a,b)∈NxN so gewählt, dass a*k=b mit k∈N gilt.

Ist nun die Frage, ob es dann auch ein k' gibt mit

 b*k' = a.  Gibt es eben nicht, wie z.B. das Paar (1;5) zeigt:

 Es geht zwar  1*5 = 5    aber

                        5 * k = 1  geht mit k∈ℕ eben nicht.

Comments

Ach stimmt. Vielen Dank dafür! :)

Answer 2

Hallo Sam,

R = {(a, b) ∈ A × A | ∃k∈ℕ : a · k = b}

∃k∈ℕ : a · k = b  bedeutet doch einfach "a ist ein Teiler von b"

Reflexivität:  (a,a) ∈ R ?

                a ist natürlich ein Teiler von a

Symmetrie:   (a,b) ∈ R  ⇒  (b,a) ∈ R   ?

               Gegenbeispiel (3,6)

                3 ist ein Teiler von 6  aber 6 ist kein Teiler von 3

Transitivität:  (a,b) ∈ R  und  (b,c) ∈ R  ⇒  (a,c) ∈ R   ?

        Wenn a ein Teiler von b und b ein Teiler von c ist, dann ist a natürlich                                      auch ein Teiler von c.

Gruß Wolfgang

Comments

Danke auch dafür :)