Anfangswertproblem lösen: t • y' = y + √( t^2 + y^2 ),

Question

Es ist folgendes Anfangswertproblem zu lösen:

t • y' = y + √( t² + y² ),  y(1) = 0

Wie soll ich hier ansetzen? Bietet sich eine Substitution an? Ich stehe leider auf dem Schlauch … könnt Ihr mir einen Ansatz geben?

Answer 1

Hi,

mache eine Substitution: y=t*u(t)

(Beachte dabei für y' die Kettenregel)

t(t*u'+u)=√(t^2+t^2u^2)+t*u  |t aus der Wurzel holen

t(t*u'+u)=t√(1+u^2)+t*u    |Letztlich verbleibt

u'=√(1+u^2)/t

u'/√(1+u^2)=1/t                |Nun integrieren

arcsinh(u)=ln(t)+c

u=sinh(ln(t)+c)

 

Rücksubstitution

y=t*sinh(ln(t)+c)

 

Du konntest folgen? :)

 

Grüße

Comments

vielen Dank, ich konnte soweit folgen.

Den wirklich interessanten Schritt kann ich allerdings nicht so ganz nachvollziehen:

Warum ist das Integral von u'/√(1+u²) gleich arcsinh(u)?

Ich weiß nur, dass das Integral von 1 / √(1+x) gleich arcsinh(x) ist.

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Das weißt Du falsch ;).

 

∫1/ √(1+x)=2 √(1+x)

Das ist leicht mit Substitution zu lösen.

 

Aber 1/ √(1+x^2)=arcsinh(x)

 

Das muss man (meiner Ansicht nach) allerdings nicht auswendig wissen. Das darf man mit Sicherheit nachschlagen. 

 

Grüße

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Oops, da hast Du wohl recht.

Allerdings muss hier ja u'/√(1+u²) integriert werden und nicht 1/ √(1+u²). Könntest Du das vielleicht noch kurz erläutern?

Man kann zwar statt u'/√(1+u²) dt auch (1/ √(1+u²)) * (du/dt) * dt = (1/ √(1+u²)) du schreiben (also die Ableitung im Zähler als extra Bruch schreiben und dann kürzen), aber dadurch ändert sich ja auch die Integrationsvariable (du statt dt).

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Oh das ist der "altbekannte" Trick: u'=du/dt

 

u'/√(1+u²)=1/t 

du/dt 1/√(1+u²)=1/t    |*dt

∫1/√(1+u²) du=∫1/t  dt

...

Einverstanden?

;)

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Ah, na logisch … :-)

Nochmals besten Dank, jetzt hab ich alles komplett nachvollziehen können.