Question

Konvergent oder Divergent?

^{n=1 bis unendlich ∑ sin(1/n)}

^{wolframalpha sagt, das diese unendliche Reihe divergiert. Kann mir jemand erklären, wie ich das allgemein bei Reihen mit Sinus und Kosinus beweisen kann? Damit meine ich:
->} n=1 bis unendlich ∑ sin(x)
^-> n=1 bis unendlich ∑ cos(x)

Wobei x irgendein abhängiger Term von der Laufvariable sein soll.

Kann ich dann einfach nur den inneren Term mir anschauen und in diesem Fall z.b.:
n=1 bis unendlich ∑ sin(1/n) nur den inneren Term 1/n betrachten und daraus Folgern:
1/n -> harmonische Reihe -> Divergenz?

Answer 1

Nein, Du kannst nicht einfach den Sinus weglassen. Du solltest stattdessen sauber argumentieren. Leite eine Abschaetzung für \(\sin\frac{1}{n}\) her und benutze das Minorantenkriterium.

Comments

Ok D.h. ich sage

n=1 bis unendlich ∑ sin(1/n) >=  (n=1 bis unendlich ∑ 1/n) daraus folgt, dass

-> da (n=1 bis unendlich ∑ 1/n) (=harmonische Reihe) divergiert, so divergiert auch n=1 bis unendlich ∑ sin(1/n).

Ist das so richtig argumentiert?

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Nein, weil es gerade umgekehrt ist: \(\sin\frac{1}{n}<\frac{1}{n}\).

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Klar, da hab ich nicht lang genug nachgedacht.

Eine bessere Abschätzung wäre:

n=1 bis unendlich ∑ sin(1/n) >=  (n=1 bis unendlich ∑ (sin(1/n))/n)

Da aber gilt: 0<sin(1/n)<=1, divergiert die Reihe.

Ist das denn so richtig argumentiert?

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Wieder daneben: \(\frac{\sin(1/n)}{n}<1/n^2\).

Leite stattdessen \(\sin(1/n)>1/(2n)\) für grosse \(n\) her.