Ganzrationale funktion 4. Grades mit A(3|27), T(0|0) und H(2|16) bestimmen!

Question

 Gibt es eine ganzrationale Funktion vom Grad 4, deren Graph durch A(3|27) geht und den Tiefpunkt T(0|0) und den Hochpunkt H(2|16) hat?

Answer 1

Benutze die Bedingungen

f(3)=27

f(0)=0

f'(0)=0

f(2)=16

f'(2) =0

Ich komme auf die Funktion: f(x) = 3·x^4 - 16·x^3 + 24·x^2

Die hat in (2|16) aber einen Sattelpunkt und keinen Hochpunkt. Daher gibt es so eine Funktion nicht.

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort. :)

Wie kommt man auf die 4. Bedingung? 

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Mist, meinte die 5. Bedingung...

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Hochpunkt bedeutet 1. Ableitung ist 0.

Answer 2

Die Funktionsgleichung in allgemeiner Form lautet f(x) =ax⁴ + bx³ + cx² +dx  +e, Drei Punkte (A,T und H) und damit auch drei Gleichungen sind gegeben. Außerdem ist die erste Ableitung an den Stellen 0 und 2 gleich Null.. Das ergibt nohmal zwei Gleichungen. Insgesamt ergeben sich also 5 Gleichungen mit 5 Unbekannten. Das ist ein normalerweise lösbares System. Zum Schluss muss man gegebenenfalls noch den Graphen ansehen und gucken, ob wirlich Hoch. und Tiefpunkt an den gegebenen Stellen liegen.