2. Ableitung x^{1/x}

Question

Maxima bestimmen und beweisen von: x^{1/x}

Komme da irgendwie nicht weiter die erste Ableitung ist klar:

f(x) = x^{1/x} = e^(ln(x)/x)

Erste Ableitung müsste dann laut meiner Berechnung: f´(x) = e^(ln(x)/x) * ((1-ln(x))/x^2) sein.

Nullstelle: f´(e) = 0

Und bei der zweiten komme ich dann auf: e^(ln(x)/x) * ((1-ln(x))/x^2)^2 + (-x-2x(1-ln(x))/x^4 * e ^(ln(x)/x)

Nun komme ich allerdings nicht auf ein negatives Ergebnis wenn ich e einsetze... was habe ich da falsch gemacht? Leider bringt mir die Musterlösung auch nicht viel da da nur das Ergebnis drin steht:

f´´(x) = (-f(e))/e^3 < 0

..

Answer 1

Ist doch alles richtig:

e^(ln(x)/x) * ((1-ln(x))/x²)² + (-x-2x(1-ln(x))/x⁴ * e ^(ln(x)/x)   und dann e einsetzen gibt

e^(1/e) * ((1-ln(e))/e²)² + (-e-2e(1-ln(e))/e⁴ * e ^(1/e)  

=  e^(1/e) * 0 + (-e-2e*0)/e⁴ * e ^(1/e)    

=  0   +   -e/e^4  * f(e)

=    -1/e^3  * f(e)     Und weil  f(e) > 0 ist, ist das negativ.

Answer 2

f(x) = x^{1/x}

f'(x) = x^{1/x}·(1 - LN(x)) / x^2

f''(x) = x^{1/x}·(LN(x)^2 + 2·(x - 1)·LN(x) - 3·x + 1) / x^4