Verhältnis ähnliche Rechtecke bei DIN-A1, DIN-A5… Papierformat

Question

Die DIN- Rechtecke erhält man durch fortlaufendes halbieren der Ausgangsfläche A1. Sie sind alle zueinander ähnlich.

a) Bestimme für diese Rechtecke das Verhältnis k der größeren zur kürzeren  Seitenlänge.

b) für DIN A 4 Blatt mit den Seitenlängen 29,7 cm und 21 cm angegeben. Wie genau stimmt das Verhältnis dieser Seitenlänge mit den bereits berechneten Verhältnis k überein? Berechne die Seitenlänge und den Flächeninhalt eines DIN A 4 Blattes. Benutze den Wert 21 cm für die kürzere Seite des DIN A 4 Blattes und die aus a) abgeleiteten exakten Wert für das Verhältnis k der beiden Seiten. Am Ende gebe mit dem Taschenrechner Näherungen für Fläche und Seitenlängen des DIN A 1 Blattes an ( 5 Nachkommastellen)

Kann mir jemand helfen.?

Answer 1

a) Bestimme für diese Rechtecke das Verhältnis k der größeren zur kürzeren  Seitenlänge.

k/1 = 1/(k/2) = 2/k
k^2 = 2
k = √2

b) für DIN A 4 Blatt mit den Seitenlängen 29,7 cm und 21 cm angegeben. Wie genau stimmt das Verhältnis dieser Seitenlänge mit den bereits berechneten Verhältnis k überein?

29.7/21 / √2 - 1 = 0.005%

Das Verhältnis stimmt sehr gut überein.

Berechne die Seitenlänge und den Flächeninhalt eines DIN A 4 Blattes.

21 * √2 = 29.69848 cm
A = 21 * 21 * √2 = 623.66818 cm^2

Benutze den Wert 21 cm für die kürzere Seite des DIN A 4 Blattes und die aus a) abgeleiteten exakten Wert für das Verhältnis k der beiden Seiten. Am Ende gebe mit dem Taschenrechner Näherungen für Fläche und Seitenlängen des DIN A 1 Blattes an ( 5 Nachkommastellen)

a = 21 * 4 = 84.00000 cm
b = 21 * √2 * 2 = 59.39697 cm

A = 21 * 4 * 21 * √2 * 2 = 4989.34545 cm^2

Comments

Ich erinnere mich, dass DIN A0 mal als eine Fläche von 1 m^2 definiert war. Damit ist A1 dann 0.5 m^2, was in unserer Rechnung im Angesicht der Tatsache das wir die 21 cm Seitenlänge nur mit 2 Ziffern angegeben haben übereinstimmt.

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Kannst du vielleicht etwas genauer erklären,wie du auf die Wurzel 2 kommst in a?

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Ich weiß, dass k^2 =2 sein soll. Ich suche also eine Zahl die mit sich selbst multipliziert 2 ergibt. Und genau dafür hat man mal die Wurzel definiert. Die Wurzel aus 2 soll genau die (positive) Zahl repräsentieren, die mit sich selbst multipliziert 2 ergibt.

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Die aufgabe in a ist: Bestimme für diese Rechtecke das Verhältnis k der größeren zur kürzeren  Seitenlänge. Ja aber ich verstehe nicht wie man jetzt auf wurzel2 = k kommt. Din a1 : a/b Din a2 ist 1/2*a:b Din a3 1/2*a : 1/2*b

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Sagen wir mal die kleinere Seite ist 1. Dann ist die größere k. Weil das Verhältnis von großer zu kleiner Seite dann genau k/1 = k ist.

Nun ist aber die kleinere Seite hier wieder die größere Seide der nächstgrößeren DIN A Stufe. Und die kleinere Seite ist hier genau die Hälfte von k.

Also kommt man auf den Ansatz
k / 1 = 1 / (k/2)

Das kann ich jetzt nach k auflösen und erhalte k = Wurzel(2)

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Jetzt habe ich das verstanden. danke sehr :)