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Neun zueinander ähnliche Dreiecke bilden eine Schnecke. Wie groß ist die Gesamtfläche aller grauen Quadrate?

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von 49 k

Sind die Dreiecke rechtwinklig?

Hi hi! das ist gut. Man könnte sich ja mit einer geometrischen Reihe plagen. Man könnte aber auch gleich die Lösung hinschreiben...

So ist es, schöne Aufgabe!

@ oswald: Ja, rechtwinklige Dreiecke.

@ Werner: Du hast es offenbar durchschaut. Warum antwortest du also nicht?

1 Antwort

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Beste Antwort

Der kleinste Innenwinkel jedes Dreiecks ist 30°, weil drei von diesen Winkeln einen rechten Winkel bilden

Die kürzeste Kathete im kleinsten Dreieck sei a, dann ist die längere Kathete a*√3, und die Hypotenuse ist 2a.

Der Ähnlichkeitsfaktor zwischen den Längen zweier benachbarter Dreiecke ist 2/√3.

Die Summe der Quadratflächen ist dann

3a² + a²(1+(4/3)+(4/3)²+(4/3)³+...+(4/3)8)

Da für die letzte Quadratseitenlänge gilt: 13/2=√[(4/3)8 a² ] = a*256/81, ist also a=13*81/512.

Der Summenterm lässt sich mit der Formel für die geometrische Reihe vereinfachen, und a kann eingesetzt werden.


Es lässt sich auch noch einfacher von außen nach innen entwickeln mit

A= 6,5²(1 + 3/4 +(3/4)²+...+(3/4)8 + 3*(3/4)8 ) = 169.


PS: Das Hypotenusenquadrat eines Dreiecks ist eines der beiden Kathetenquadrate des nächstgrößeren Dreiecks. Wenn man das reihum fortsetzt, kommt man am Ende auch auf die Summe 13²=169

von

Das geht wesentlich einfacher.

Habe es gerade bearbeitet.

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