begrenztes exponentielles Wachstum einer Tiergattung im Nationalpark "Donau-Auen".

Question

Guten Tag
Ich muss für eine Klausur lernen und bin auf eine Aufgabe gestoßen, die ich nicht verstehe
Beispiel:das Ökosystem im nationalpark "Donau-Auen" verträgt maximal K=2000 Exemplare einer Tiergattung. Es werden 200 Individuen dieser Spezies ausgesetzt. Der Zuwachs nach einem Jahr beträgt jeweils zu Jahresbeginn 5% der Restkapazität.
Erstelle die Funktionsgleichung für die Entwicklung dieser Individuen
Stimmt mein Ergebnis?: f(t)= 200*1,045^t???
danke euch jetzt schon mal :)

Comments

Kannst du " f(t)= 200*1,045^t " kurz erklären? 

Das wäre unbegrenztes Wachstum mit 4.5% Zunahme pro Zeiteinheit. 

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Es steht doch, dass der zuwachs 5% der Restkapazität beträgt

die Restkapazität beträgt 1800, das sind 90% also habe ich 0,9*0,05 + 1 gerechnet..

normalerweise würde ich mit 1,05 gerechnet, aber das mit der Restkapazität muss doch auch berücksichtigt werden oder?

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f(t) = 2000 - 1,05^t

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Dass du mit der Restkapazität rechnest, ist schon ok. Aber irgendwas ist danach schiefgelaufen. HIer mal als Illustration dein Ansatz. Wenn du zoomst, siehst du, dass 2000 ungehindert überschritten wird. 

~plot~200*1,045^x;[[500]]~plot~

5% der Restkapazität müsste sein 0.05 ( 2000  - f(t)) und die werden addiert zu f(t).

Das wäre mit folgender Rekursion zu haben.

 f(t+1) = f(t) + 0.05(2000 - f(t)) 

Nun ist das aber vorläufig noch keine Funktionsgleichung. 

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hab ich mir gerade angesehen.. verstehe trotzdem nicht wie ich die Begrenzung einbaue?

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Schau dir mal das verlinkte Video an. 

Die Gleichung, die der Gast angegeben hat, stimmt leider auch (noch) nicht. f(0) ist dort nicht 200. 

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f(t)=2000-200*e^-0.05tstimmt das?

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Lass dir mal den Graphen mit einem Plotter aufzeichnen. 

f(0) = 2000 - 200*1 = 1800 

kann allerdings schon mal schlecht sein. 

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wie kommst du auf 1??? 

kannst du mir bitte die richtige Formel sagen, damit ich drauf komme wie es geht und wenn ich fragen hab, könnte ich sie gleicht zielgerichtet schreiben :) bitte 

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außerdem bin ich fast überzeugt davon, dass die formel stimmt, weil das schaubild richtig ist

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e^0 = 1.                                  .

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im video rechnet man aber die maximale kapazität minus dem anfangswert

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achso nein doch nicht :D

man muss also 2000-1800 rechnen

Answer 1

Ich weiß zwar nicht ob es stimmt aber ich biete einmal

f ( t ) = 2000 - 1800 * 0.95^t  an

~plot~  2000 - 1800 * 0.95^x ; [[ 0 | 60 | 0 | 2000 ]] ~plot~

Comments

Die Herleitung der Formel kann wie angeführt  über die Restkapazität  erfolgen.

Restkapazität bei

0.Jahr = 1800

1.Jahr = da 5 % der Restkpapazität in die neue Population umgewandelt  wird
ist die Restkapazität
1800 - 1800 * 0.05 = 1800 * ( 1 - 0.05 ) = 1800 * 0.95

2. Jahr  = 1.Jahr wieder * 0.95 = 1800 * 0.95^2
3. Jahr 1800 * 0.95^3 usw

Die Population ist

max Endwert - Restkapazität
2000 - 1800 * 0.95^t