Für welches t ist das GLS lösbar?

Question

Wir sollen herausfinden für welches t ist das System lösbar.

Das ist das gegebene Gleichungssystem.

$$\begin{pmatrix} 1 & -4 & t & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 1 \\ -2 & 4 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$

Ich habe folgenden Ansatz gemacht:

$$\\ III=III+(I*2)\\ ........................\\ \begin{pmatrix} 1 & -4 & t & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & (-1+2t) & 0 \end{pmatrix}\\ ..........................\\ III=III+(2*I)\\ .......................\\ \\ \begin{pmatrix} 1 & -4 & t & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & (1+2t) & 2 \end{pmatrix}\\ ...................................\\ 1+2t\quad =\quad 2\\ t=\quad 1/2\quad $$

Bin ich da auf dem richtigen Weg ?

Wie komme ich auf die richtige  Lösung?

Als Lösung wurde t = - 1/2 angegeben.

Kann mir jemand helfen ?

 

Answer 1

in der letzten Zeile der letzten Matrix steht   ( 1 + 2t ) • x₃ = 2 

Diese Gleichung hat genau dann keine Lösung, wenn t = -1/2 ist    [ 0 • x₃ ≠ 2 ]

Ansonsten hat sie die Lösung  x₃ =  2 / (1 + 2t)  

Dann kannst du durch Einsetzen in II und I  x₂ und x₁ bestimmen.

Gruß Wolfgang

Answer 2

Deine Lösung scheint richtig zu sein, bis Du \( t \) ausrechnen moechest.

Deine Matrix beschreibt ja ein GLS der Form

\( 1a -4 b +tc = 0 \)

\( 0a +2 b +1c = 1 \)

\( -2a +4 b -1c = 0 \)

Aus der letzten Matrix erhaelst Du dann:

\( 1a -4 b +t c = 0 \)

\( 0a +2 b +1c = 1 \)

\( 0a + 0 b + ( 1+2t)c = 2 \)

Also

\( (1+2t) \cdot c = 2 \)

\( c= \frac{2}{1+2t} \)

Das bedeutet für \( t= - \frac{1}{2} \) ist das GLS nicht loesbar, da durch \( 0  \) geteilt werden wuerde, bzw. es kein \( c \) gibt, so dass \( 0 \cdot c = 2 \) gilt.

Ergibt in Gleichung II

\( 2b + \frac{2}{1+2t}=1 \)

Nach b aufloesen und alles in Gleichung I einsetzen

\( b = \frac{1}{2} - \frac{1}{1+2t} \)

\( 1a -4 (\frac{1}{2} - \frac{1}{1+2t}) +t \frac{2}{1+2t}= 0 \)

\( a = 2 + \frac{4}{1+2t} -  \frac{2t}{1+2t} \)

\( a = 2 + \frac{4-2t}{1+2t} =   \frac{2(1+2t)}{1+2t}+ \frac{4-2t}{1+2t} \)

\( a= \frac{6+2t}{1+2t} \)

Jetzt haben wir Lösungen für alle 3 Variablen in Abhaengigkeit von \( t \).

Gruss

Comments

Okay danke das ist viel einleuchtender geworden.

hätte trotzdem noch eine Frage :..

für t = - 1/2 könnte man 1+2t = 0 und somit t = -1/2 und ich weiß für t - 1/2 gibt es keine  Lösung.

ich konnte dein Rechenweg völlig verstehen aber jetzt zu dem Bezug wann hat es unendlich viele Lösungen und wann nur eine ?

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entschuldige bitte, die spaete Antwort, ich war leider verhindert.

Also, wir kennen jetzt das t für das es keine Lösung hat.

Gibt es ein t für das es unendlich viele Lösungen gibt?

Nein, denn für jedes t, dass wir noch einsetzen koennen bekommen wir genau eine Lösung für a, b und c.

Ein t mit unendlichen Lösungen wuerde vorliegen, wenn es bei diesem t egal ist, was wir für a oder für b oder für c einsetzen. Beispielsweise wenn bei einer Gleichung \( a \cdot 0 = 0 \) herauskaeme, koennte man für a alles einsetzen und die Gleichung wuerde immer stimmen.

So etwas gibt es hier nicht.

Gruss

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Ah okay.. vielen vielen dank. habe es jetzt verstanden..!