Aufgabenstellung: Für welche a element R ist das GLS lösbar?

Question

Aufgabe:

Ich habe ein parametrisiertes Gleichungssystem gelöst und bin mir nicht sicher ob ich den richtigen Weg gewählt habe.

Aufgabenstellung: Für welche a element R ist das GLS lösbar?

\( \left(\begin{array}{ccc|c}1 & 3 & 1 & 1 \\ 1 & a+3 & 0 & 1 \\ 2 & a+4 & a & a+3\end{array}\right) \)

mit folgender allgemeinen Lösung für x1x2x3 :

\( \left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right) *\left(\begin{array}{l}\frac{-5}{a-2} \\ \frac{1}{a-2} \\ \frac{a}{a-2}\end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Ist die Lösung dann: alle a außer a=2 (aufgrund des Bruches und der Division durch null) und muss danach nicht mehr weiterrechnen?

Eine weitere Frage:, als ich in die Gleichungen x1x2x3 eingesetzt habe um das a zu berechnen bekam ich für

1. a = a

2 .a = a

3. a = -a

heraus,

welche Bedeutung hat es für die Lösbarkeit des GLS für a wenn eine Zeile keine Lösung für a hat? das steht im Widerspruch zu der allgemeinen Lösung mit a außer a=2

Bitte um Ratschläge :)

vg

coffee.cup

Answer 1

Die allgemeine Lösung lautet: x₁=\( \frac{1}{a+2} \) , x₂=\( \frac{-1}{a+2} \) , x₃=\( \frac{-a}{a+2} \).

Comments

Danke für die Antwort.

Durch welchen Rechenweg kommt man auf dieses Ergebnis? Und muss man bei dieser

Aufgabenstellung nach der allgemeinen Lösung nichts weiter berechnen?

---

@ cc :  Für  a ≠ 2 ist deine Lösung richtig (* als = interpretiert), für a = -1 kommen weitere Lösungen hinzu.

Answer 2

Aloha :)$$\begin{array}{rrrrl}x & y & z & = & \text{Operation}\\\hline 1 & 3 & 1 & 1 &\\1 & a+3 & 0 & 1 & -\text{Zeile } 1\\2 & a+4 & a & a+3 & -2\cdot\text{Zeile } 1\\\hline 1 & 3 & 1 & 1 &\\0 & a & -1 & 0 & \\0 & a-2 & a-2 & a+1 & :(a-2)\\\hline\end{array}$$Beachte die letzte Gleichung, für \(a=2\) erhalten wir \(0x+0y+0z=3\), also eine Gleichung, die nie erfüllbar ist. Daher existiert für \(a=2\) keine Lösung. Mit dem Wissen können wir durch \(a-2\) dividieren:$$\begin{array}{rrrrl}\\\hline1 & 3 & 1 & 1 & -3\cdot\text{Zeile }3\\0 & a & -1 & 0 & -a\cdot\text{Zeile }3 \\0 & 1 & 1 & \frac{a+1}{a-2} & \\\hline 1 & 0 & -2 & \frac{-2a-5}{a-2} & \\0 & 0 & -a-1 & -a\frac{a+1}{a-2} & :-(a+1) \\0 & 1 & 1 & \frac{a+1}{a-2} & \\\hline\end{array}$$Beachte die zweite Gleichung, für \(a=-1\) erhalten wir \(0x+0y+0z=0\), also eine Gleichung, die immer erfüllt ist. Das heißt, für \(a=-1\) hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, weil wir ja nur 2 Gleichungen für 3 Unbekannte haben. Mit diesem Wissen können wir durch \((a+1)\) bzw. das Negative davon dividieren:$$\begin{array}{rrrrl}\\\hline 1 & 0 & -2 & \frac{-2a-5}{a-2} & +2\cdot\text{Zeile }2\\0 & 0 & 1 & \frac{a}{a-2} & \\0 & 1 & 1 & \frac{a+1}{a-2} & -\text{Zeile }2\\\hline 1 & 0 & 0 & \frac{-5}{a-2} & \\0 & 0 & 1 & \frac{a}{a-2} & \\0 & 1 & 0 & \frac{1}{a-2} &\\\hline\end{array}$$Deine Lösung kann ich soweit bestätigen:$$x=\frac{-5}{a-2}\quad;\quad y=\frac{1}{a-2}\quad;\quad z=\frac{a}{a-2}\quad\text{wenn}\quad a\ne2\;\land\;a\ne-1$$Allerdings haben wir auf dem Rechenweg festgestellt:

Keine Lösung für \(a=2\).

Unendlich viele Lösungen für \(a=-1\).

Comments

eine Gleichung, die immer erfüllt ist. Das heißt, für a=−1 hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, weil wir ja nur 2 Gleichungen für 3 Unbekannte haben

Das heißt es überhaupt nicht. Ein GlS mit zwei Gleichungen in drei Unbekannten kann durchaus unlösbar sein.