Lagebeziehung Gerade-Ebene

Question

g: vektor x = Vektor (1 0 0) + t x Vektor ( -1 -4 7)

E: vektor x = Vektor (2 1 -3) + r x Vektor (1 -2 1) + s x Vektor (-2 1 2)


Die Gerade liegt laut den Lösungen in der Eben jedoch weiß ich nicht welchen Lösungsweg die Rechnung hat.

Answer 1

Wir wandeln mal die Ebenengleichung in die Koordinatenform um

E: Vektor x = Vektor (2 1 -3) + r * Vektor (1 -2 1) + s * Vektor (-2 1 2)

Normalenvektor n = [1, -2, 1] x [-2, 1, 2] = -[5, 4, 3]

E: 5x + 4y + 3z = [2, 1, -3] * [5, 4, 3] = 5

Der Vektor der Geraden ist offensichtlich nicht parallel zum Normalenvektor. Ich prüfe auf Orthogonalität

[-1, -4, 7] * [5, 4, 3] = 0

Die Gerade verläuft also parallel zur Ebene. Ich prüfe ob der Ortsvektor der Geraden in E liegt.

5*1 + 4*0 + 3*0 = 5

Das stimmt, daher liegt die Gerade g in der Ebene E.