Untersuchen Sie auf Konvergenz.

Question

$$ \sum _{k=1}^{\infty }\:\frac{k-1}{\left(2k-1\right)\cdot \left(k+2\right)\cdot \left(k+3\right)} $$

Wie untersuche ich diese Reihe am besten auf Konvergenz?

Ich habe das Quotientenkriterium angewendet und vereinfacht habe ich:

$$ \frac{\left(\left(2k-1\right)\left(k+2\right)k\right)}{\left(2k+1\right)\left(k+4\right)\left(k-1\right)} $$

Für $$ \lim _{k\to \infty }\left(\frac{\left(\left(2k-1\right)\left(k+2\right)k\right)}{\left(2k+1\right)\left(k+4\right)\left(k-1\right)}\right) $$ erhalte ich den Wert 1.

Damit divergiert die Reihe. Ist meine Lösung richtig oder habe ich mich irgendwo verrechnet?

Comments

Weder Quotienten- noch Wurzelkriterium funktioniert, wenn das Reihenglied eine rationale Funktion von k ist. Es kommt immr Grenzwert = 1 raus, egal, ob die Reihe konvergiert oder divergiert.

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Tipp: Mache aus  a/k^2 ducht geschickte Wahl von a eine konvergente Majorante.

Answer 1

Forme die Summanden etwas um:

(k-1) / ( (2k-1)(k+2)(k+3))

= (k-1)/(2k-1)    *      1 / ((k+2)(k+3))

Der erste Faktor ist immer < 1 also gilt

<  1 / ((k+2)(k+3))   und der Nenner ist immer größer k^2, also der Bruch < 1 / k^2

< 1 / k^2

Und die Reihe mit den Summanden    1 / k^2    ist konvergent .

siehe https://people.math.ethz.ch/~blatter/Analysis_5.pdf Seite 171.

Also hast du eine konvergente Majorante und damit ist deine Reihe

auch konvergent.