Problem bei dem Nachweis der Transitivität: A = ℝ^2\{0,0}, (a,b) ~ (c,d) <=> a*d = b*c.

Question

gegeben ist A = ℝ²\{0,0}, (a,b) ~ (c,d) <=> a*d = b*c.

Aufgrund der Äquivalenzrelation soll ich die Reflexivität, Symmetrie und Transitivität nachweisen. Die Reflexivität und Symmetrie waren einfach, aber bei der Transitivität komme ich nun nicht mehr weiter.

Transitivität:
Sei weiterhin (e, f) Element aus A, dann folgt aus a * d= b * c und c * f = d * e
unmittelbar (a,b) ~ (c,d) und (c,d) ~ (e,f) woraus folgt (a,b) ~ (e,f).

Ab hier komme ich nicht mehr weiter.
Im Buch wird mit folgendem fortgefahren:
a*d*f = b*c*f = b*d*e = a*c*f = a*d*e = b*c*e
Wie komme ich darauf?

Als nächstes wird "Wegen (c,d) ≠ (0,0) gilt c ≠ 0 oder d ≠ 0" verwendet.
Daraufhin wird eine Fallunterscheidung gemacht. Warum wählt man (c,d) ≠ (0,0)
und wieso wird eine Fallunterscheidug gemacht?

LG

Answer 1

Rechne einfach mal ohne Fallunterscheidung so weiter, dass du die verlangte Gleichheit hinbekommst:

 a * d= b * c und c * f = d * e 

a/b = c/d  und c/d = e/f    ==> a/b = e/f

Nun zurück zur Darstellung als Produkt

a*f = e*b 

q.e.d. Transitivität.

Nun einfach noch kontrollieren, wo man Ungleichheit von 0 verwendet hat. 

Dann kommst du automatisch auf weitere Fälle. 

Comments

Das wirkt sehr chaotisch. Nur um mal bisschen Struktur reinzubringen:
Wenn du die Transitivität der Relation zeigen möchtest, dann setzt du voraus, dass für \( (a,b), (c,d), (e,f) \in A \) gilt:
Falls \((a,b) \sim (c,d)  \) und \( (c,d) \sim (e,f)\) gilt, dann gilt auch \((a,b) \sim (e,f)\).
Das bedeutet du hast die 
Voraussetzung: \(ad=bc\) und \(cf = de\)
und musst zeigen, dass \(af = be\) gilt.
Anmerkung: Kommentar zur Frage nicht zu Lu's Antwort.

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Yakyu: Ich habe offenbar deinen Kommentar verschoben. Sorry.

Kannst du noch bearbeiten?

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Nicht schlimm, ich wunder mich grade ein wenig mehr darüber, dass in letzter Zeit bei mir die Zeilenumbrüche in den Kommentaren nicht richtig mitgenommen werden.

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Ja.  Bei mir ist das allerdings ein Dauerärgernis.