Reihe auf Konvergenz untersuchen, Problem beim Umformen

Question

ich habe folgende Reihe gegeben, die ich auf Konvergenz untersuchen und ggf. den Grenzwert berechnen soll:

$$\sum _{n=1}^{\infty }\:\left(\frac{\left(n^n\right)}{\left(n!\right)^2}\right)$$

Durch das Quotientenkriterium komme ich auf folgenden Ausdruck:

$$\frac { (n+1)^{n+1} }{ ((n+1)!)^{2} } \cdot \frac { (n!)^{2} }{ n^{n} }$$

Wie kann ich hier weiterrechnen?

Im Internet erhalte ich durch einen Rechner folgenden Weg:

Für n+1 wird n(1+1/n) geschrieben:

$$\lim _{n\to \infty \:}\left(\left|\frac{\left(n\left(1+\frac{1}{n}\right)\right)^{n\left(1+\frac{1}{n}\right)}n!^2}{\left(n\left(1+\frac{1}{n}\right)\right)!^2n^n}\right|\right)$$

Und dann schreibt der Rechner wiefolgt um:

$$\lim _{n\to \infty \:}\left(e^{-\Re \left(n\ln \left(n\right)\right)}\right)$$

$$\lim _{n\to \infty \:}\left(n^{-n}\right)$$

$$\lim _{n\to \infty \:}\left(\frac{1}{n^n}\right) = 0$$

Answer 1

Hi,

$$\lim_{n\to\infty}\frac { { (n+1) }^{ n+1 }}{ ((n+1)!)^2 }*\frac { (n!)^2 }{ n^n }=\lim_{n\to\infty}\frac { { (n+1) }^{ n-1 } }{ n^n }=lim_{n\to\infty}\frac { { (n+1) }^{ n } }{ n^n }*\frac { 1 }{ n+1 }=lim_{n\to\infty}(1+\frac { 1 }{ n })^n*lim_{n\to\infty}\frac { 1 }{ n+1 }=e*0=0$$