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Berechnen Sie das Integral mit der angegebenen Substitution.

 (2x+3) /(x+2)^2 dx ; t= x+2

(grenzen unten :1 oben:2)

Mein Ansatz :

 (2x+3) / t dt 

  (2x+3) *t^-1

Hier partielle Integration

---> t^-1 = u'(x)

----->  (2x+3) = v(x) 

Benötige ganz Hilfe weiß nicht mehr weiter :(

!

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du musst x durch u ausdrücken

substituiere u = x+2

du/dx = 1

dx = du

x = u -2

dann hast du das integral (u+1)/u^2 du was leicht zu lösen ist

wie kommst du im zähler auf u+3 ^^??

oh ich nehme alles zurück


müsste da nicht 2 u rauskommen im zähler ??

jo habs schnell im kopf gemacht kann was falsch sein. versuchs mal allein jetzt müsstest du das schaffen

muss ich da mit der partiellen Integration weitermachen ??

nein. schau mal die anderen antworten. mit partialbruchzerlegung geht es meiner meinung nach einfacher

3 Antworten

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Man konnte ansonsten eventuell auch erstmal eine Partialbruchzerlegung machen.

f(x) = (2·x + 3)/(x + 2)^2 = 2/(x + 2) - 1/(x + 2)^2

Dazu ist die Stammfunktion nicht mehr so schwer

F(x) = 2·LN(x + 2) + 1/(x + 2) + C

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$$ \int_{}^{} \frac { 2x+3 }{ (x+2)^2 } dx \\= \int_{}^{} \frac { 2(x+2) - 1 }{ (x+2)^2 } dx \\= \int_{}^{} \frac { 2(x+2) }{ (x+2)^2 } dx - \frac { 1 }{ (x+2)^2 } dx \\= \int_{}^{} \frac { 2 }{ x+2 } dx- \frac { 1 }{ (x+2)^2 } dx \\= \int_{}^{} \frac { 2 }{ x+2 } dx- \int_{}^{}\frac { 1 }{ (x+2)^2 } dx \\= 2\cdot\int_{}^{} \frac { 1 }{ x+2 }dx - \int_{}^{}\frac { 1 }{ (x+2)^2 } dx $$

Jetzt kannst du integrieren:

$$ \int_{}^{}\frac { 1 }{ x+2 } dx $$

Substituiere t = x+2, dt/dx = 1:

$$ \int_{}^{}\frac { 1 }{ t } dt \\= ln(t)$$

Rücksubstitution von t = x+2: ln(t+2)

Dasselbe nun mit:

$$ \int_{}^{}\frac { 1 }{ (x+2)^2 } dx $$

Substituiere t = x+2, dt/dx = 1:

$$ \int_{}^{}\frac { 1 }{ t^2 } dt \\= -\frac { 1 }{ u }$$

Rücksubstitution von t = x+2: -1/(x+2)

=> F(x) = $$ 2 \cdot ln(|x+2|) + \frac { 1 }{ x+2 } + C $$

Auf das Vorzeichen achten! (+1/(x+2))


Jetzt kannst du die Grenzen einsetzen.


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