0 Daumen
619 Aufrufe

Hallo :)

Ich muss mit Hilfe von Substitution eine integralfreie Darstellung finden:

∫ ln(x²+3) dx

Als Tipp ist angegeben, dass es hilfreich sei erst partiell zu integrieren.


Avatar von

3 Antworten

+1 Daumen

∫ LN(x^2 + 3) dx

∫ 1·LN(x^2 + 3) dx

Partielle Integration

x·LN(x^2 + 3) - ∫ x·(2·x)/(x^2 + 3) dx

x·LN(x^2 + 3) - ∫ 2·x^2/(x^2 + 3) dx

x·LN(x^2 + 3) - ∫ (2 - 6/(x^2 + 3)) dx

x·LN(x^2 + 3) - ∫ 2 dx + ∫ 6/(x^2 + 3) dx

x·LN(x^2 + 3) - 2·x + 2·√3·arctan(x/√3) + c

----------------------------------------------------------------------------------------------------

∫ 6/(x^2 + 3) dx

∫ 2/(x^2/3 + 1) dx

Subst. z = x/√3

dz = 1/√3 dx --> dx = √3 dz

∫ 2/(z^2 + 1) √3 dz

∫ 2·√3 · 1/(z^2 + 1) dz

2·√3·arctan(z) + c

Resubst.

2·√3·arctan(x/√3) + c

Avatar von 477 k 🚀

Merke dazu vielleicht auch

∫ (a/(b·x^2 + c) dx = a/√(b·c)·arctan(√(b/c)·x)

∫ 6/(1·x^2 + 3) dx = 6/√(1·3)·arctan(√(1/3)·x) = 2·√3·arctan(x/√3)

0 Daumen

folge dem Hinweis der partiellen Integration. Dabei ist der zweite Faktor die "unsichtbare" 1.

Kommst auf:

xln(x^2+3) - ∫ 2x^2/(x^2+3) dx


Kommst Du damit weiter? Tipp: Polynomdivision und dann an den arctan denken ;).


Grüße

Avatar von 140 k 🚀
Danke schonmal, aber wie komme ich nun weiter.. ich muss ja eine Substitution machen. Leider weiß ich nicht was ich substituieren soll :/ Mit der Polynomdivision komme ich auch nicht weiter :( da kommt doch wieder ein bruch raus oder?

Hast du den Tipp zuende gelesen?

ja, aber ich weiß nicht wie ich das mit arctan substituiere..

Es genügt, wenn du die Ableitung von arctan kennst.

https://de.wikipedia.org/wiki/Arkustangens_und_Arkuskotangens#Ableitungen

0 Daumen

Als Tipp ist angegeben, dass es hilfreich sei erst partial zu integrieren. --->ja

= int (ln(x^2+3) *1) dx

Setze:

u' =1

v= ln(x^2+3)

-------->

u=x

v'= (2x)/(x^2+3)

---------<

=x *ln(x^2+3) - int x *(2x)/(x^2+3) dx

Avatar von 121 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community