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Sei c eine fixe Konstante. Für welche Werte von a besitzt die folgende Funktion f lokale Extrema? 

f(x)=x^2 +2ax+

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 f(x)=x^+2ax+

ist immer die Gleichung einer Parabel. Sie hat im Scheitelpunkt immer ein lokales (und gleichzeitig globales) Extremum.
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also dass es die Form einer Parabel hat und somit ein lokales Extremum besitzt, weiß ich, aber wie kann die genauen Werte für a herausfinden?

Es gibt für jedes a∈ R ein lokales Extremum.

Daher, wenn du nun a gesucht hast, ist die Lösungsmenge  L = ℝ

f ' (x) = 2x + 2a; neue Zeilef ' (x) = 0  neue Zeil==> x = -a  neue Zeile 

f ''(x) = 2 > 0.    neue Zeile 

==> Für alle a∈R gibt es ein lokales (und globales) Minimum. Neue Zeile

Ein globales Max. gibt es nicht.
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f(x)=x^2 +2ax+c

Solltest du außerdem noch an den Koordinaten für den Extrempunkt
interessiert sein. Hier der Rechenweg mit Diff.Rechnung

f ( x ) = x^2 + 2 ax + c
f ´( x ) = 2 * x + 2 * a
f ´´ ( x ) = 2

Extrempunkt
2 * x + 2 * a
= 0
x = - a

f ( -a ) = (-a)^2 + 2 * a * (-a) + c
f ( -a ) = a^2 - 2 * a^2 + c
f ( -a ) = - a^2 + c

Extrempunkt ( -a | - a^2 + c )
Die 2.Ableitung ist positiv  => Linkskrümmung / Minimum

Eine Herleitung mit der Scheitelpunktform ist auch möglich.

Hier noch ein Graph für a = 2 und c = 4

~plot~ x^2 + 2 * 2 * x + 4 ~plot~

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