Für welche Werte sind diese Gleichungen lösbar?

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Ich habe folgendes Problem:

Gegeben sind die Gleichungen

(cosθ)x - (sinθ)y = 2   und   (sinθ)x + (cosθ)y = 1

Wie kann ich nun herausfinden für welche Werte von θ die Gleichungen im Bereich 0 ≤ θ ≤ 2π lösbar sind. Gibt es eine allgemeine Herangehensweise für solche Aufgaben?

Woher weiß ich, welcher Wert für θ nicht möglich ist?

Danke schonmal für alle Tipps!
Gefragt 12 Okt 2012 von Gast jd2122

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Ich beschreibe dir mal meine Vorgehensweise:

In der linearen Algebra beschreibt die Matrix M

wenn man sie mit einem Vektor v = (x, y) multipliziert eine Drehung um den Winkel θ. Die beiden Gleichungen repräsentieren dabei die beiden Komponenten des Vektors, das Gleichungssystem ist also äquivalent zu

Um diese Drehung wieder umzukehren, reicht es aus, eine Matrix heranzumultiplizieren, die die Drehung exakt rückgängig macht, also eine Drehung um den Winkel -θ.

Mit cos(-θ)=cos(θ) und sin(-θ) = - sin(θ) ist die Umkehrmatrix also:

Multipliziert man die auf beiden Seiten an die Gleichung von links heran, dann hebt sie sich links gerade mit der ursprünglichen Drehmatrix weg und rechts kann man ausmultiplizieren.

 

Mit anderen Worten, die Lösung lautet:

x = 2cos(θ)+sin(θ)
y = cos(θ) - 2sin(θ)

 

 

Falls dich diese Matrixschreibweise verwirrt, kann man auch anders an die Aufgabe herangehen, allerdings werde ich dann ein paar Sachen machen müssen, die einem so vielleicht nicht einfallen:

(I) (cosθ)x - (sinθ)y = 2

(II) (sinθ)x + (cosθ)y = 1

Stelle zwei neue Gleichungen auf, nämlich:
(III): cos(θ)*(I) + sin(θ)*(II)

(IV): cos(θ)*(II) - sin(θ)*(I)

 

Das ergibt die Gleichungen:

(III): (cosθ)2x - (sinθ)(cosθ)y + (sinθ)2x + (sinθ)(cosθ)y = 2cosθ+sinθ

(IV): sinθ cosθ x + (cosθ)2y - sinθ cosθ x + (sinθ)2y = cosθ-2sinθ

Die grün markierte Mischterme heben sich gegenseitig weg. Klammert man nun x und y aus, so folgt:

x [(cosθ)2+(sinθ)2] = 2cosθ+sinθ

y [(cosθ)2+(sinθ)2] = cosθ-2sinθ

Verwendet man jetzt noch den trigonometrischen Pythagoras

(cosθ)2+(sinθ)2 ≡ 1

dann folgt auch die Lösung:

x = 2cos(θ)+sin(θ)
y = cos(θ) - 2sin(θ)

Beantwortet 12 Okt 2012 von Julian Mi Experte X

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