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Ich habe folgendes Problem:

Gegeben sind die Gleichungen

(cosθ)x - (sinθ)y = 2   und   (sinθ)x + (cosθ)y = 1

Wie kann ich nun herausfinden für welche Werte von θ die Gleichungen im Bereich 0 ≤ θ ≤ 2π lösbar sind. Gibt es eine allgemeine Herangehensweise für solche Aufgaben?

Woher weiß ich, welcher Wert für θ nicht möglich ist?

Danke schonmal für alle Tipps!
von

1 Antwort

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Beste Antwort

Ich beschreibe dir mal meine Vorgehensweise:

In der linearen Algebra beschreibt die Matrix M

$$ M = \left( \begin{array} { c c } { \cos ( \theta ) } & { - \sin ( \theta ) } \\ { \sin ( \theta ) } & { \cos ( \theta ) } \end{array} \right) $$

wenn man sie mit einem Vektor v = (x, y) multipliziert eine Drehung um den Winkel θ. Die beiden Gleichungen repräsentieren dabei die beiden Komponenten des Vektors, das Gleichungssystem ist also äquivalent zu

$$ \left( \begin{array} { c c } { \cos ( \theta ) } & { - \sin ( \theta ) } \\ { \sin ( \theta ) } & { \cos ( \theta ) } \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array} { l } { x } \\ { y } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { 2 } \\ { 1 } \end{array} \right) $$

Um diese Drehung wieder umzukehren, reicht es aus, eine Matrix heranzumultiplizieren, die die Drehung exakt rückgängig macht, also eine Drehung um den Winkel -θ.

Mit cos(-θ)=cos(θ) und sin(-θ) = - sin(θ) ist die Umkehrmatrix also:

$$ M ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { c c } { \cos ( \theta ) } & { \sin ( \theta ) } \\ { - \sin ( \theta ) } & { \cos ( \theta ) } \end{array} \right) $$

Multipliziert man die auf beiden Seiten an die Gleichung von links heran, dann hebt sie sich links gerade mit der ursprünglichen Drehmatrix weg und rechts kann man ausmultiplizieren.

$$ \left( \begin{array} { l } { x } \\ { y } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { \cos ( \theta ) } & { \sin ( \theta ) } \\ { - \sin ( \theta ) } & { \cos ( \theta ) } \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array} { l } { 2 } \\ { 1 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { 2 \cos ( \theta ) + \sin ( \theta ) } \\ { \cos ( \theta ) - 2 \sin ( \theta ) } \end{array} \right) $$

Mit anderen Worten, die Lösung lautet:

x = 2cos(θ)+sin(θ)
y = cos(θ) - 2sin(θ)

Falls dich diese Matrixschreibweise verwirrt, kann man auch anders an die Aufgabe herangehen, allerdings werde ich dann ein paar Sachen machen müssen, die einem so vielleicht nicht einfallen:

(I) (cosθ)x - (sinθ)y = 2

(II) (sinθ)x + (cosθ)y = 1

Stelle zwei neue Gleichungen auf, nämlich:
(III): cos(θ)*(I) + sin(θ)*(II)

(IV): cos(θ)*(II) - sin(θ)*(I)

Das ergibt die Gleichungen:

(III): (cosθ)2x - (sinθ)(cosθ)y + (sinθ)2x + (sinθ)(cosθ)y = 2cosθ+sinθ

(IV): sinθ cosθ x + (cosθ)2y - sinθ cosθ x + (sinθ)2y = cosθ-2sinθ

Die grün markierte Mischterme heben sich gegenseitig weg. Klammert man nun x und y aus, so folgt:

x [(cosθ)2+(sinθ)2] = 2cosθ+sinθ

y [(cosθ)2+(sinθ)2] = cosθ-2sinθ

Verwendet man jetzt noch den trigonometrischen Pythagoras

(cosθ)2+(sinθ)2 ≡ 1

dann folgt auch die Lösung:

x = 2cos(θ)+sin(θ)
y = cos(θ) - 2sin(θ)

von 10 k

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