Stetigkeit und Differenzierbarkeit im Nullpunkt bei Bruch mit mehreren Variablen

Question

(x,y)∈R^2

Es ist f(x,y) := ((xy)^2)/(x^2+y^2) : (x,y)≠(0,0)

                             0                     : x=y=0

Ist diese Funktion im Nullpunkt

a) stetig

b) partiell differenzierbar

c) total differenzierbar

Kann mir hier jemand helfen?

Comments

Es hilft, sich die Funktion grafisch zu veranschaulichen:

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Danke für die Grafik, aber wie kann ich das rechnerisch lösen?

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An der Grafik siehst du, dass die Funktion beim Nullpunkt  (das ist "unten in der Mitte") absolut friedlich ist. Damit ist die Frage beantwortet. Die Fallunterscheidung wird offensichtlich nur gemacht, um die Division durch Null zu verhindern, nicht um irgendwelche wilden Sprünge in die Funktion zu kriegen.

Rechnerisch würde ich so vorgehen, dass ich versuche die Funktion zu differenzieren. Wenn das geht und die Ableitung für den Nullpunkt eine Lösung hat, ist die Funktion dort differenzierbar.

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Wie würdest du für Stetigkeit vorgehen?

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ε-δ-Kriterium oder Folgenkriterium der Stetigkeit.

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Tipp: Benutze Polarkoordinaten.

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Für Stetigkeit:

x = h·cos(α)

y = h·sin(α)

f(x, y) = (x·y)^2/(x^2 + y^2)

f(h, α) = (h·cos(α)·h·sin(α))^2 / ((h·cos(α))^2 + (h·sin(α))^2)

f(h, α) = h^4·SIN(α)^2·COS(α)^2 / h^2

f(h, α) = h^2·SIN(α)^2·COS(α)^2

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Wie kommst du darauf? Wie genau bist du auf den Ansatz gekommen?

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Das sind x und y in Polarkoordinaten. Das hat uns unser Prof. damals auch so beigebracht.

Nun kann ich durch h den Abstand zum Ursprung beliebig verkleinern. Und zwar durch das Alpha von allen Seiten gleichzeitig.

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Gut, dann ist das klar. Ich habe aber noch eine andere Lösung dieser Aufgabe gesehen. Kannst du mir das erklären?

Lösung:

f ist in (0,0) stetig.

denn |f(x,y)| ≤ |y| --> 0     ((x,y) --> 0 )

Warum kann man so argumentieren?

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Steigkeit: Für alle \(x,y\in\mathbb R\) ist \(x^2+y^2\ge y^2\). Für \((x,y)\ne(0{,}0)\) folgt$$\left\vert\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}\right\vert=\frac{y^2}{x^2+y^2}\cdot x^2\le x^2.$$

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Hast du auch noch eine Idee zu b) und c)?

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Vielleicht bildest du mal die partiellen Ableitungen und schaust dann nach dem Grenzwert wie bei der Funktion auch.

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Lösung:

f ist in (0,0) stetig.

denn |f(x,y)| ≤ |y| --> 0     ((x,y) --> 0 )

Warum kann man so argumentieren?

Kommentar:  f stetig in (o;o) heißt:

Für jede Folge (a_n,b_n) → (0;0) gilt

lim f( (a_n,b_n)  =  f(0;0) = 0   für n gegen unendlich.   #

und wenn man |f(x,y)| ≤ |y| hat (Das wird ja oben

bewiesen.) und  (a_n,b_n) → (0;0)

dann geht ja insbesondere auch b_n gegen 0.

Also # gezeigt.

Answer 1

a ist ja wohl geklärt.

b)  partiell diffbar nach x  im Punkt (a,b) heißt doch  (f(a+h,b)-f(a,b) ) / h

hat für h gegen 0 einen Grenzwert und der ist f_x '  ( a,b) .

In deinem Fall:

( f(0+h,0) - f(0;0) )   / h  =   ( 0 - 0 ) / h = 0 unabhängig von h,

also auch für h gegen 0 Grenzwert 0, also  f_x ' (0;0) = 0 .

Entsprechend auch f_y ' (0;0) = 0