Berechne Inhalt und Umfang der Kreisflächen

Question

Komme mit dieser Aufgabe nicht zurecht: 

Berechne den Inhalt und den Umfang der Flächen. Ein Kreismittelpunkt liegt bei den Strecken a, einer bei dem rechten Winkel.

 

Das große Dreieck wäre klar, Fläche a^2. Den Halbkreis rechts bekomme ich auch noch hin: a^2·π/2. Doch die anderen Flächenstücke?

Wie komme ich an diese elliptisch gebogenen Flächenstücke ran?!

Answer 1

Die Abbildungen verraten, mit welchen Ansätzen wir auf die Gesamtfläche kommen:

1. Die Hypotenuse z des Dreiecks erhält man über den Satz des Pythagoras mit a² + a² = z², damit z = √(a² + a²) = √(2a²).  

 

2. Strecke x ergibt sich aus 2a (dem Durchmesser) abzüglich der Hypotenuse. Auch erkennen wir den rot gefärbten Kreisausschnitt, der uns hilft, die graue Teilfläche zu berechnen.

3. Den gelb eingefärbten Kreisausschnitt können wir berechnen, sobald wir x kennen.

Berechnung der Gesamtfläche: 

A_gesamt = 2 Dreiecke + grüner Halbkreis + 2 graue Teilflächen + gelber Kreissektor 

Im Einzelnen: 

2 Dreiecke A_D = a²

Halbkreis A_HK = a²*π/2

Graue Teilflächen 2*A_TF 

Hierfür müssen wir vom Kreissektor die zwei Dreiecke abziehen. 

A_TF = AS  -  AD 

A_TF = (r²·π·α / 360°)  -  a²      | r = a und α = 45°

A_TF = (a²·π·45°/360°)  -  a²

A_TF = a²·π·1/8  -  a²

Zwei Teilflächen sind damit:  2*A_TF = 2*(a²·π·1/8  -  a²)

Gelber Kreissektor ASektor 

A_Sektor = x²·π·90°/360°

A_Sektor = x²·π·1/4 | x = 2a - √(2a²)

A_Sektor = (2a - √(2a²))²·π·1/4 

Gesamtfläche

A_gesamt = 2 Dreiecke + grüner Halbkreis + 2 graue Teilflächen + gelber Kreissektor 

A_gesamt = A_D + A_HK + 2*A_TF + A_Sektor

A_gesamt = a² + a²*π/2 + 2*(a2·π·1/8  -  a²) + a2·π·1/4

A_gesamt = a² + a²*π/2 + 2*(a2·π·1/8  -  a²) + (2a - √(2a²))2·π·1/4

// vereinfachen

A_gesamt = a² + a²*π/2 + 2*a²·π·1/8  -  2*a² + (4a² - 2*2a*√(2a²) + 2a²)*π*1/4

A_gesamt = a² + π/2*a² + 1/4*a²*π  -  2*a² + (6a² - 4a*√(2a²)) *π*1/4

A_gesamt = a² + 1/2*π*a² + 1/4*π*a²  -  2*a² + (6a²*π*1/4 - 4a*√(2a²)*π*1/4) 

A_gesamt = a² + 1/2*π*a² + 1/4*π*a²  -  2*a² + 3/2*π*a² - π*a*√2*√(a²) 

A_gesamt = a² -  2*a² + 1/2*π*a² + 1/4*π*a²  + 3/2*π*a² - π*a*√2*a 

A_gesamt = -a² + 3/4*π*a²  + 3/2*π*a² - √2*π*a² 

A_gesamt = a²*(-1 + 3/4*π  + 3/2*π - √2*π)

A_gesamt = a²*(-1 + 9/4*π  - √2*π)

Alle Rechnungen ohne Gewähr. 

Answer 2

Das sind 4 Kreisteile. Das rechte ist der Halbkreos, dann geht

es weiter mit einem Kreis mit r=2a um die Endpunkte der 2a-Strecke,

und ganz links noch ein kleiner Kreis.

Comments

Also außer dem Halbkreis kommt dann nach links ein Achtel

eines Kreises mit r=2a

Der hätte A = 1/8 * a^2 * pi   und den gibt es oben und

unten und die beiden überschneiden sich in dem Dreieck.für

Also liefert das  die Fläche   1/4 * a^2 * pi   -  A_Dreieck 

Und ganz links ist ein Viertelkreis mit dem Radius

2a - a*√2  .