Mathe für WiWi: Lineare Algebra, Vektoren, LG

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Hallo leute!

mache gerade meine Hausaufgabe  und bin bei zwei aufgaben stecken geblieben:

Kann mir da jemand die schrittweise erklären,erläutern , oder eine gute internetseite geben mit solchen themen. das wär echt klasse!!!

Aufgabe a:

Gegeben seien eine linear unabhängige Teilmenge T des Vektoraumes V=R^3 .Ergänzen sie T zu einer Basis B von V.

T={( 2/1/0)},(0/4/-6)}

Aufgabe b:

Bestimme für alle  d ∈ R die Lösungsmenge der folgende Gleichungssysteme#

dx+4y+5z=d

x+dy-2z=1

2x+2dy-d^2z=d

Führen Sie gegebenenfalls  eine Fallunterscheidung durch!

Vielen Dank erstmal im voraus :-)

Gefragt 13 Okt 2012 von joker

2 Antworten

+1 Punkt
 
Beste Antwort

Da Lu ja a) schon beantwortet hat, reiche ich mal Aufgabe b) nach:

 

Als erstes bestimmst du die erweiterte Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems:

 

Diese Matrix muss nun mit dem Gaußalgorithmus in Stufennormalform gebracht werden. Dafür tausche ich erstmal die ersten beiden Zeilen, um so eine 1 oben links zu erzeugen und beginne dann mit dem Algorithmus:

Die Lösungen für y und z lassen sich nicht mehr vereinfachen.

Für die Lösung für x:

Diese Lösung

x = d(d+1)²/[(d-2)(2+d)²]

y = [5+2d]/[(2-d)(2+d)²]

z = -1/(2+d)

gilt nur für d ≠ ±2.
Falls d = ±2 gilt, so müssen wir nochmal zurück zum Gaußalgorithmus: Für d = -2 lautet die letzte Zeile bereits im zweiten Schritt 0 = -4, das System ist also nicht lösbar.

Für d = 2 lautet die Matrix im zweiten Schritt:

 

Übersetzt man das zurück in zwei Gleichungen, erhält man:

x + 2y = 1

z = 0

Es gibt also unendlich viele Lösungen, wobei

z = 0

y ∈ R

x = 1-2y

gelten muss.
 

Beantwortet 14 Okt 2012 von Julian Mi Experte X
oh  man! ich danke dir
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Ich löse mal die Aufgabe a:

 Gegeben seien eine Linear unabhängige Teilmenge T des Vektoraumes V=R^3 .Ergänzen sie T zu einer Basis B von V.   T={( 2/1/0),(0/4/-6)}

Eine Basis von V muss aus 3 linear unabhängigen Vektoren bestehen. 2 hat man jetzt schon.

1. Möglichkeit:

Man kann sich einen einfachen 3. Vektor ausdenken, z.B. (1/0/0), (0/1/0) oder (0/0/1). Und prüfen, ob die Determinante der Matrix aus den gegebenen und dem 3. Vektor nicht Null ist. Das geht am schnellsten, selbst, wenn man erst im 3. Anlauf erfolgreich ist.

2. Möglichkeit:

Ohne Pröbeln: Man berechnet das Vektorprodukt und ha so automatisch einen Vektor, der senkrecht auf den beiden gegebenen Vektoren steht.

Die Rechnung dazu:

Vektorprodukt

So kann man T folgendermassen zu einer Basis ergänzen: 

B={( 2/1/0),(0/4/-6), (-3/6/8)}

Beantwortet 13 Okt 2012 von Lu Experte C
hey Lu,

vielen Dank nochmal :-)

könntest du mir genauer erklären, was in der großen klammer gemacht wird,beim nachrechnen komme ich nämlich auf anderen lösungen
Ich hab die Determinanten hingeschrieben. Da muss man die entsprechende Zeile im Vektorprodukt abdecken und in der Mitte noch das Vorzeichen beachten.

Das Berechnen der Determinanten. 1*(-6) -0*4 = -6, …

Auf was kommst du denn? Schon möglich, dass ich mich irgendwo verrechnet habe. Zudem ist die Lösung ja nicht eindeutig.

Vermutlich gehört das Vektorprodukt nicht zum Stoff der WIWI, da es nur im 3-dim gut anwendbar ist (Vektorgeometrie). Bei höheren Dimensionen ist 'Raten' angesagt. Am einfachsten mit den Ehinheitsvektoren.

Am Schluss, wenn man 2 ausklammert, sollte unten noch 4 stehen. Also:

B={( 2/1/0),(0/4/-6), (-3/6/4)}

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