Sei I=[1,3]. I = [1,3]. Die Funktion f : I→R f : I \rightarrow ℝ sei gegeben durch f(x)=x^3-12x+8

Question

$f(x)={ x }^{ 3 }-12x+8.$

1) Bestimmen Sie $max\left\{ f\left( x \right) |x\in I \right\}$ und $min\left\{ f\left( x \right) |x\in I \right\}$.

2) Bestimmen Sie $f(I)$.

Muss man in der 1) einfach nur die Werte gegen $+∞$ und $-∞$ laufen lasen?

Und was ist in der 2) gemeint?

Answer 1

1) Du sollst das Maximum bzw. Minimum der Funktion auf dem angegebenen Definitionsbereich bestimmen.

2) $f(I)$ ist eine Teilmenge der Zielmenge von $f$ und wird als das Bild von $I$ unter der Abbildung $f$ verstanden. 

Tipp: Mit 1) solltest du 2) direkt aufschreiben können.

Gruß

Comments

Vielen Dank erstmal. Also soll ich den Hoch- und Tiefpunkt berechnen und die Werte nehmen die zwischen 1 und 3 liegen?

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Du sollst rausfinden welchen maximalen und minimalen Wert f (x) annimmt für x zwischen 1 und 3 (inklusive). Extremwerte betrachten hilft aber ist nicht ausreichend.

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$f'(x) = { 3x }^{ 2 } - 12$ =>

3x² - 12 = 0 => 3x² = 12 => x = 2. Und die 2 liegt im Intervall.

In $f''(x) = 6x$ eingesetzt ergibt es:

$f''(2) = 12 >0$ => In x = 2 existiert ein Minimum. Und ein Maximum gibt es nicht.

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Also den tiefsten Punkt hätten wir ja meine ich. Der liegt in f(2) = 8 - 24 + 8 = -8.

Ich würde um den höchsten Punkt zu berechnen noch die Ränder überprüfen:

f(1) = 1 - 12 + 8 = -3 und

f(3) = 27 - 36 + 8 = -1 =>

Den höchsten Wert erreicht die Funktion in $I$ für x = 3, und den niedrigsten für x = 2.

Richtig? Es stimmt laut Plotlux.

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Ja das ist richtig. Das gesuchte Maximum ist also -1 und das Minimum -8.