Zeigen Sie: Für a, b>0 und x, y ∈ ℝ gilt: (a^ x)^ y = a^ (xy) und (ab)^ x = a^ x * b^ x

Question

Zeigen Sie:

Für \( a, b>0 \) und \( x, y \in \mathbb{R} \) gilt
$$ \left(a^{x}\right)^{y}=a^{x y} \quad \text { und } \quad(a b)^{x}=a^{x} b^{x} $$

Comments

Darfst du denn die Gültigkeit der Formeln für x,y Element N, Z und Q voraussetzen?

Wenn nicht: Beginne man mit x,y Element N. Falls gerade aktuell, kannst du da Induktionsbeweise üben.

Answer 1

Zuerst zeigen wir: (a^x)^y) = a^{x*y}
I.A.: x=1:

       a^y = a^{1*y} Also richtig!

I.S.: x "=" x+1:

      ( a^{x+1})^y = ( a^x * a)^y = (a^x)^y * a^y = a^{x*y + y} = a^{(x+1)*y} Also auch richtig.

Gehe bei der zweiten Aufgabe analog vor, alles klar :-)

gruß...