Nullstelle von x^4-8x^3+22x^2-44x+24

Question

Nullstelle ohne Taschenrechner bestimmen.

Comments

Tipp: \(x^4-8x^3+22x^2-44x+24=(x^2-6x+4)(x^2-2x+6)\).

Answer 1

Teste alle ganzzahligen Teiler von 24.

Also ± 1, ±2 , ±3, ± 4 , ±6, ±8, ±12, ±24 einsetzen und schauen, ob 0 rauskommt. 

Wenn ganzzahlige Lösungen existieren, findest du sie so und kannst dann mit Polynomdivision den Grad deiner Funktion reduzieren. 

Da hier keine ganzzahligen Lösungen vorhanden sind, wirst du das vermutlich nicht ohne Taschenrechner hinbringen.

Du müsstest nämlich die folgenden Faktorisierung erraten können:

(4-6 x+x^2) (6-2 x+x^2)

Comments

>  Teste alle ganzzahligen Teiler von 24.

x = 1 - √5·i  ∨  x = 1 + √5·i  ∨  x = 3 - √5  ∨  x = √5 + 3   (reelle Lösungen)

Damit geht es also leider nicht :-)

---

Danke. Vgl. update von meinem Text :) 

---

Danke für die Erklärung :)

---

>  Nullstelle (?)  ohne Taschenrechner bestimmen.

Eine (oder 2) reelle Nullstelle könnte man näherungsweise mit dem Newtonverfahren (in sehr guter Näherung) "von Hand" ausrechnen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren

---

Gast: Bitte.

Wolfgang: Das Newtonverfahren ist sehr nützlich und es ist zu hoffen, dass der Gast das kennt oder lernt, wenn er solche Aufgaben lösen muss.

Ich würde mich aber weigern, das Newtonverfahren ohne Taschenrechner zu verwenden um √5 + 3 auszurechnen. Das kann nicht wirklich genau werden. 

---

In Klausuren sind oft nur Taschenrechner erlaubt, die rechnen, aber keine Gleichungen lösen.

Mehr sollte von "von Hand" nicht heißen.