Vektoren als Linearkombination darstellen.

Question

Aufgabe:

Stellen Sie die Vektoren \( \bar{a}=\left(\begin{array}{c}{-1} \\ {1} \\ {5}\end{array}\right), \vec{b}=\left(\begin{array}{c}{-3} \\ {2} \\ {-1}\end{array}\right) \) und \( \vec{c}=\left(\begin{array}{l}{2} \\ {2} \\ {2}\end{array}\right) \) als Linearkombination der Vektoren \( \vec{x}=\left(\begin{array}{l}{1} \\ {2} \\ {1}\end{array}\right), \vec{y}=\left(\begin{array}{l}{1} \\ {1} \\ {2}\end{array}\right) \) und \( \vec{z}=\left(\begin{array}{l}{2} \\ {1} \\ {1}\end{array}\right) \) dar.

Answer 1

für die Darstellung von \(\vec{a}\) erhältst du z.B. die Linearkombination

\(\vec{a}\) = r • \(\vec{x}\) + s • \(\vec{y}\) + t • \(\vec{z}\)    mit r,s,t ∈ ℝ

Aus dieser Vektorgleichung erhältst du 3 Koordinatengleichungen, also ein LGS mit den Unbekannten r, s und t. das du lösen musst.

[Zur Kontrolle: r = - 1/4 , s = 15/4 , t = - 9/4 ]

Darstellung von \(\vec{b}\)  und \(\vec{c}\)  analog.

Gruß Wolfgang

Comments

Ich muss dann auch r,t,s für den vektor b und c ausrechnen oder?

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Genau so ist es.

Answer 2

Löse die folgenden Vektorgleichungen jeweils nach m, n und k auf.

a = mx + ny + kz

==> Darstellung für a.

b = mx + ny + kz 

==> Darstellung für b.

c = mx + ny + kz

==> Darstellung für c.

Bei c kann man direkt raten:

x + y + z = (4|4|4).

Daher c = 1/2 * x + 1/2 * y + 1/2 * z.

Dort, wo du das Resultat nicht direkt siehst, musst du ein lineares Gleichungssystem lösen um m, n und k zu bestimmen.