Grenzwert mit l'Hospital

Question

Ich bekomme bei der folgenden Aufhabe einfach keinen Lösung. 

Lim x->0 für wurzel(x) *ln(x) 

Die Gleichung geht gegen 0 und -unendlich 

Ich habe anschließend  L'hospital benutzt, aber vorher natürlich umgeformt. Aber mein Problem ist jetzt ich komme immer wieder zum Grenzwert 0/0. 

über Hilfe wäre ich sehr dankbar!!

Answer 1

wurzel(x) *ln(x)   =   ln(x) /   ( 1 / √x)   =    ln(x)  /   x ^-1/2   

ist vom Typ   - ∞ / ∞

mit  L'hospital :           1/x    /    (-1/2)*  x ^-3/2   

                           = x^-1 *   (-1/2)*  x ^3/2   

                              = x^1/2 *   (-1/2)    

                         also Grenzwert 0.

Comments

Vielen Dank hat mir sehr geholfen, ich habe immer durch ln(x) geteilt und bin immer auf komische Ergebnisse gekommen.

Aber ich danke dir sehr für die Hilfe 

Answer 2

    Manchmal hilft es, ein Problem hinreichend zu verallgemeinern. Suchen wir doch mal

                 lim             x  ^  €    ln  (  x  )  ;  €  >  0  (€)  |R      (  1  )
             x ===> 0

   

 

     Folgende Substitution

 

 

                      ln  (  x  )  =:  -  z  ;  z  ===>  (  °°  )        (  2a  )

                                x  =  exp  (  -  z  )        (  2b  )

       x  ^  €    ln  (  x  )  =  -  z  exp  (  -  €  z  )  ===>  0     (  2c  )

 

 

    Die Begrümdung für das asymptotische Verhalten ( 2c )  ; Diktat für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel

      " Die e-Funktion unterdrückt jedes Polynom. "

      " Die logaritmische Singularität wird von jeder noch so schwachen €-Potenz unterdrückt. "

    " Unn da stellemer ons janz domm; unne fragemer so: "

    1) Von welcher Ordnung ist die logaritmische Singularität?

    2) Was ist das überhaupt - eine Polstelle n-ter Ordnung?

 

    DEFINITION  ( Polstelle n-ter Ordnung )

  ===================================

    Wir wollen sagen, y = f ( x ) hat eine Polstelle n-ter Ordnung, wenn die Funktion ( 3a )

 

 

         g  (  x  ;  n  )  :=  f  (  x  )  (  x  -  x0  )  ^  n         (  3a  )

 

    stetig ist in einer ( offenen ) ===> Umgebung von x0; und zwar fordern wir insbesondere Ungleichung ( 3c )

 

     g  (  n  )  :=  g  (  x0  ;  n  )  :=      lim               g  (  x  ;  n  )          (  3b  )

                                                    x ===> x0

 

        g  (  n  )  <  >  0        (  3c  )

 

    ==============================================================

 

   Dabei erweist sich Ungleichung ( 3c ) als schlechthin entscheidend; sonst könnte nämlich n so ziemlich alles sein. Wir werden Eindeutigkeit zeigen; d.h. ist x0 ein Pol n-ter und gleichzeitig m-ter Ordnung, so folgt m = n .

  Beweis durch Widerspruch; sei also n < m . Dann ist Ungleichung ( 3c ) erfüllt, ferner auch

       g  (  m  )  <  >  0      (  4a  )

     Jetzt ergibt sich aber aus ( 3a ) der Zusammenhang

 

           g  (  x  ;  m  )  =  g  (  x  ;  n  )  (  x  -  x0  )  ^  (  m  -  n  )         (  4b  )

    und somit aus dem ===> Grenzwertsatz

       g  (  m  )  =  g  (  n  )  *  0  =  0      (  4c  )

    ( 4c ) im Widerspruch zu ( 4a )

   Vielleicht bist du jetzt allzu schnell bei der Hand mit dem Einwand, die Ordnung von Polstellen einer gebrochen rationalen Funktion erkennt man doch intuitiv. Aber bei ===> transzendenten funktionen kommst du ohne meine Definition nicht weit; so besitzt etwa

     f  (  x  )  :=  sin  (  x  )  /  x  ²       (  5  )

   einen Pol ERSTER und nicht zweiter Ordnung ( einschließlich der Konsequenz des Vorzeichenwechsels ! )

   Was du an Hand dieser Aufgabe lernen sollst; ganz erstaunlich. Die logaritmische Singularität ist überhaupt keine Polstelle im Sinne meiner Definition. Der Trick: Bereits für beliebig kleine Potenzen € verschwindet der Grenzwert in ( 1 ) ;  folglich kann es auch keine " Ordnung " geben analog ( 3c ) , wo etwas von Null Verschiedenes heraus kommt.