Zeigen Sie, dass || . || eine Norm ist. ||(x,y)|| = |y| + |y-x|

Question

1. Auf dem \( \mathbb{R}^{2} \) definieren wir \( \|(x, y)\|=|y|+|y-x| \)

(a) \( \quad \) Zeigen Sie, dass \( \|\cdot\| \) eine Norm ist.

(b) \( \quad \) Zeigen Sie explizit, dass \( \|\cdot\| \) aquivalent zur euklidischen Norm ist.

c) \(\quad\) Skizzieren Sie die Einheitskugel \( B_{1}(0)=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} |\|(x, y)\|<1\right\} \) 

kann mir einer bitte bei der Aufgabe 1 helfen ?

Ich wäre über jede Antwort, sehr froh.

Comments

Versteht jemand diese Aufgabe? Ich bräuchte auch Hilfe dabei.

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Normen haben ganz klare Eigenschaften, versuche doch erstmal diese nachzuweisen.

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Wie kann man sich die in Aufgabenteil b) gesuchten Konstanten, um die Äquivalenz der Normen zu zeigen, am besten erschließen.

Also für die Äquivalenz muss ja gelten das
a*(|y| + |y-x|) <= Wurzel(x^2+y^2) <= b*(|y| + |y-x|) mit a,b>0

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ist das richtig für a )
wenn x , y = 0 sind muss die Norm auch = 0 .
| 0 | + | 0 - 0 | = 0
| y | + | y - x | >= 0  => | y | >= - |y - x | für alle y,x
und wie kann ich die andere zwei Bedingungen für Normen erfullen ( Dreickesungleichung und Symmetrie)

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Die Umformung ist sinnlos. Beträge reeller Zahlen sind stets nicht negativ und ihre Summe somit auch nicht. Du musst hier im Grunde bei jeder Eigenschaft nur mit den Normeigenschaften des Betrages arbeiten.

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kann jemand das schreiben . Mir sind diese Beweise sehr schwer...

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Hat jemand eine Lösung für diese Aufgabe? Hänge auch bei der

Answer 1

ok geh die Schritte einzeln durch und überprüfe ob du verstanden hast was und vor allem warum etwas gemacht wurde:

Seien \((x,y), (u,v) \in \mathbb{R}^2\) und \( \alpha \in \mathbb{R} \).

1.) Definitheit:

\( \| (x,y) \| = 0 \Leftrightarrow |y|+|y-x|= 0 \Leftrightarrow  |y| = 0 \wedge |y-x| = 0 \Leftrightarrow y = 0 \wedge x = 0\)

2) Homogenität:

$$ \| \alpha \cdot (x,y) \| = \| ( \alpha x , \alpha y) \| \\= |\alpha y| + |\alpha y - \alpha x| = |\alpha|( |y| + |y-x|)) = |\alpha| \cdot \| (x,y) \|$$

3.) Subadditivität (auch Dreiecksungleichung genannt):

$$ \| (x,y) + (u,v) \| = |y+v| + |y+v-(x+u)| \leq |y|+|v| + |y-x| +|v-u| = \| (x,y) \| + \| (u,v) \|$$

Gruß

Comments

gibt doch noch die Aussage, dass ∥(x,y)∥ ≥ 0 ist. Wäre das dann so richtig?  ∥(x,y)∥ = |y|+|y−x| = |y+y−x| =|2y−x| ≥ 0 da der Abstand größer gleich null sein muss   ≥ =  

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Wenn du zwei Zahlen großer gleich 0 addierst ist das Ergebnis immer noch größer gleich Null. Dein zweites Gleichheitszeichen ist falsch!

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Okay, also reicht hier  ∥(x,y)∥ = |y|+|y−x| ≥ 0 schon aus? 

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Ich sitze gerade an der selben Aufgabe. Wie kann man die b) lösen? Die Regel für die Äquivalenz für Normen ist mir bekannt, allerdings weiß ich nicht, wie man sie auf diese Norm anwenden soll.

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Quadriere mal die relevanten Ungleichungen.

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Wie entscheide ich den, welche Ungleichung ich brauche?

Es ist ja entweder:

a*Wurzel(x²+y²)<=|y|+|y-x|<=b*Wurzel(x²+y²)

oder

a*|y|+|y-x|<=Wurzel(x²+y²)<=b*|y|+|y-x|

Ich habe beide quadriert, komme dann aber auch nicht wirklich weiter. Die Wurzel fällt dann ja weg. Allerdings wird aus |y|+|y-x| dann y²+2|y||y-x|+|y-x|² und das hilft mir nicht wirklich.

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wie kann man bei b ) zeigen  , dass |y| + | y - x | = Wurzel(x²+y²) ?