Question

Zerlegen sie die folgenden Polynome in ihre Linearfaktoren über den komplexen Zahlen.

a) z²+9

b) z²-4*z+20

Ich weiß, dass bei a die Nullstellen +3 und -3 sind. bei b gibt es keine reellen Nullstellen, da man aus keiner negativen zahl die Wurzel ziehen kann.

Danke für die Hilfe schonmal.

Comments

Deswegen ist in der Aufgabe ja auch die Rede von komplexen Zahlen.

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Ja und wie muss ich das dann aufschreiben ?

Answer 1

a) hat keine reellen Faktorisierung. + 3 und -3 sind keine Nullstellen.

z² + 9

= (z + 3i) ( z - 3i)

Gehe mal vom Resultat aus und löse die Klammern richtig auf.

b)

z²-4*z+20        | quadr. Ergänzung

= z² - 4z + 4 + 16 

= (z - 2)² + 16   

= (z-2)² - (4i)²       | 3. Binom

= ((z-2) + 4i)((z-2) - 4i) 

= (z - 2 + 4i) ( z - 2 - 4i)  

Answer 2

b.)  hat die Nullstellen  z₁=2+4i   und z₂=2-4i

Dementsprechend die Zerlegung in die Linearfaktoren:

=(z-2-4i)(z-2+4i)