Mit Mittelwertsatz zeigen: Bsp: Das Polynom p(x) = x^3 + 3x^2 + 6x + 1 hat keine Nullstellen in R+.

Question

Nutzen von Mittelwertsatz

 

1)   Das Polynom p(x) = x³ + 3x² + 6x + 1 hat keine Nullstelen in R⁺.

 

2) Das Polynom q(x) = x³ + 3x² + 6x - 1 hat genau eine Nullstelle in R⁺.

 

3) Alle lokalen Extrema des Polynoms r(x) = (x² - 5) * (x² - 100) * (x - 4) * (x+3) liegen im Intervall (-10,10).  Hier ist eine genaue Begründung gefragt. Versuchen Sie nicht,
die stationären Punkte direkt zu bestimmen, sondern argumentieren mit der maximal
möglichen Anzahl solcher Punkte und den Nullstellen von r(x).

Comments

Ist der Mittelwertsatz der Differentialrechnung gemeint? andere Möglichekeiten: vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Mittelwertsatz

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Ich glaube gemeint ist der Zwischenwertsatz, der fälschlicherweise öfter auch als Mittelwertsatz bezeichnet wird.

https://de.wikipedia.org/wiki/Zwischenwertsatz

Zumindest macht es mit dem Satz am meisten Sinn.

Answer 1

1)

p(x) = x^3 + 3·x^2 + 6·x + 1

p'(x) = 3·x^2 + 6·x + 6 > 0 (Keine Nullstellen laut abc-Formel)

Die Funktion ist damit streng monoton wachsend.

Da f(0) > 0 ist kann es für x > 0 keine Nullstellen geben.

2)

q(x) = x³ + 3x² + 6x - 1

Auch diese Funktion ist streng monoton wachsend.

Da f(0) < 0 muss es für x > 0 irgendwann genau eine Nullstelle geben

3)

r(x) = (x² - 5) * (x² - 100) * (x - 4) * (x+3)

Nullstellen sind bei ±√5, ±10, 4 und -3

Wir haben eine Funktion 6 Grades mit maximal 6 Nullstellen und maximal 5 Extremstellen. Wir haben alle Nullstellen gegeben und die Extremstellen befinden sich immer genau zwischen zwei benachbarten Nullstellen. Damit sind alle Extremstellen im Bereich von - 10 bis +10.

Comments

"sich immer genau zwischen zwei benachbarten Nullstellen."

genau heisst hier nicht zwingend in der Mitte aber sicher nicht an der Nullstelle selbst.

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Richtig. War eine dumme Formulierung von mir. Danke für die Verbesserung.

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wie sieht es die q'(x) und r'(x) aus ?  Muss es irgendwie so sein?

q'(x) = x³ + 3x² + 6 - 6.

 

r'(x) = (x²-5) * (x² + 100) * (x+4) * ( x+3)    ?

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q'(x) = p'(x) weil sich die Funktionen nur im absoluten Glied unterscheiden welches wegfällt.

Die Ableitung von r(x) muss hier nicht gemacht werden.

r(x) = (x^2 - 5)·(x^2 - 100)·(x - 4)·(x + 3)
r(x) = x^6 - x^5 - 117·x^4 + 105·x^3 + 1760·x^2 - 500·x - 6000
r'(x) = 6·x^5 - 5·x^4 - 468·x^3 + 315·x^2 + 3520·x - 500

Das ausmultiplizieren von r(x) ist aber eher kontraproduktiv für die Aufgabe.