Konvergiert die Folge (an)?

Question

Sei $$ { \left( { a }_{ n } \right)  }_{ n=1 }^{ \infty  } $$ eine Folge mit folgenden Eigenschaften:

$$ \underset { n\rightarrow \infty  }{ lim } { a }_{ 2n }\quad =\quad \underset { n\rightarrow \infty  }{ lim } { a }_{ 2n+1 }\quad =\quad a $$

Konvergiert die Folge (a_n) ?

Answer 1

wenn überhaupt, dann konvergiert an auch gegen a.

Dazu muss man lt. Def. prüfen

Sei eps > 0. Dann gibt es ein N für das gilt:  Für alle n > N ist  | a_n - a | < eps

Dem ist so, denn

Sei eps > 0. Dann gibt es

1. ein N1 für das gilt:  Für alle n > N1 ist  | a_2n - a | < eps    und 

2.  ein N2 für das gilt:  Für alle n > N2 ist  | a_2n+1 - a | < eps   

Also liegen für hinreichend großes n sowohl alle Folgengleider mit

geradem als auch alle mit ungeradem Index in U_eps(a) 

also alle in U_eps(a) .   Also ist an konvergent gegen a.