Komplexe Zahlen zu lösen!

Question

Bitte helfen Sie mir mir diesen 2 Aufgaben :)

Sehr vielen Dank ^^

1.) Lösen Sie \( z^{2}+\mathrm{i} z+6=0 \) und verifizieren Sie Ihre Lösungen mit einer Probe.
2.) Geben Sie die Lösungen von \( (z-(1+i))^{3}=-8 i \) in kartesischen Koordinaten an.

 

Comments

Tipp zu (2): Bekanntlich ist \((\sqrt3-i)^3=(-\sqrt3-i)^3=(2i)^3=-8i\).

Answer 1

Hey!

Nr. 1:)

Du löst mit pq-Formel:

z= - i/2 ±√((i/2)² -6)

= -0,5i±√-6,25

= -0,5i± 2,5i

z1=2i   z2= -3i

Comments

Bei Nr.2)

Auflösen mit bin. Formeln ergibt:

z³-3z²-3iz²+6iz+2-2i= -8i    | +8i

z³-3z²-3iz²+6iz+2+6i=0

es gilt:

(2i)³= -8i  ,also

z-i-1=2i   | +i+1

z1=1+3i

Polynomdivision von

(z³-3z²-3iz²+6iz+2+6i):(z-1-3i)=z²-2z-2

Mit pq-Formel:

z2=1+√3

z3=1-√3

Die Lösungen für z sind also:

z1=1+3i         z2=1+√3       z3=1-√3

Answer 2

z^2 + iz + 6 = 0  quad. Erg.

z^2 + iz + (i/2)^2 - (i/2)^2 +  6 = 0

(z+i/2)^2     +1/4   +  6 = 0

(z+i/2)^2    = -6,25

z+i/2    = ±2,5i

z = 2i    v    z =  -3i

ProbeN:   (2i)^2 + i*2i + 6 = -4  - 2 + 6 = 0

           (-3i)^2 + i*(-3i)  + 6 =  -9 + 3 + 6 = 0 Passt.

Comments

(z - (1+i) )^3   = -8i

und -8i hat zur pos. x-Achse einen Winkel von 270°

also haben die 3. Wurzeln Winkel von 90° = pi/2  oder 210° = 7pi/2 

oder 330°  =  11pi/2    also 

z - (1+i)    = 2i  

oder  z - (1+i)    = 2* ( cos(210°) + i*sin (210°) ) =  -√3  - i

oder   z - (1+i)    = 2* ( cos(330°) + i*sin (330°) ) = √3  - i

Also  z = 1 + 3i  oder  z = 1 -√3  oder  z = 1 +√3