Ableitung einer Exponentialfunktion (erste und zweite Ableitung)

Question

ich benötige eure Hilfe.

Ich weiß nicht wie man die folgende Funktion

$$ { e }^{ { -\frac { 1 }{ 2 } (x-1) }^{ 2 } } $$

ableitet. Ich benötige die erste und zweite Ableitung. Kann mir einer von euch weiter helfen? Der mir die einzelnen Schritte erklärt?

Gruß

Marco

Comments

Gehört zu den grundlegenden Ableitungen : merken
[ e^term ] ´ = e^term + ( term ´ )

e^{-0.5* (x-1)hoch2}
term = -0.5 * (x-1)^2
term ´ = -0.5 * 2 * ( x -1 ) * 1
term ´= -1 * ( x - 1 )
term ´ = 1 - x

[ e^term ] ´ = e^term + ( 1 - x )

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2. Ableitung : zusätzlich die Produktregel

( u * v ) ´ = u ´ * v + u * v ´

[ e^term + ( 1 - x ) ] ´
u = e^term
u ´ =  e^term + ( 1 - x )
v = ( 1 - x )
v ´= -1

( u * v ) ´ = u ´ * v + u * v ´
[ e^term + ( 1 - x ) ] ´  = e^term ´ * ( 1 - x )  +  e^term * ( -1 )
[ e^term + ( 1 - x ) ] ´  = ( e^term + ( 1 - x ) * ( 1 - x )  +  e^term * ( -1 )
[ e^term + ( 1 - x ) ] ´  = e^term * ( 1 -2* x + x^2   +  ( -1 )  )
[ e^term + ( 1 - x ) ] ´  = e^term * ( -2* x + x^2   )
[ e^term + ( 1 - x ) ] ´  = x * e^term * ( -2  + x   )

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Georg in der letzten Zeile stimmt glaube ich was nicht.

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Hallo kofi,

zwischen der vorletzten und der letzten Zeile wurde x ausgeklammert.
Bitte angeben wo du einen Fehler siehst.

mfg Georg

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Da ist ein Plus, wo ein Mal hingehört - in den letzten Zeilen.

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Ich hab´s oben korrigiert.
Danke für den Hinweis.

Answer 1

Setze den Exponenten von e, nämlich -1/2(x-1)2 = z. Bilde z'. Die Ableitung ist dann e^z·z'

Comments

                                   

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Danke für deine Hilfe.

Also ist die erste Ableitung

 $$ { e }^{ { -\frac { 1 }{ 2 } (x-1) }^{ 2 } }*{ e }^{ -(x-1) } $$

???

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Nein irgendwie nicht. Was ist die Ableitung vom Exponenten? Da kann nicht nochmal ein e vorkommen.

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Die Ableitung vom Exponenten ist -(x-1)

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Ganz genau. Warum steht dann bei dir in deiner Ableitung an zweiter Stelle des Produktes nochmal die e Funktion anstatt dieses Terms?

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Oh, verdammt!

Also ist die erste Ableitung

$$ { e }^{ { -\frac { 1 }{ 2 } (x-1) }^{ 2 } }*\quad (-(x-1)) $$

Richtig?

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Yes........!

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Okay...

Und um jetzt noch die zweite Ableitung zu bilden muss die Produktregel anwenden, oder?

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Ja genau, das stimmt.

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Ich komme nicht drauf, was ich jetzt zu erst machen muss. Kannst du mir helfen?

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Ist die zweite Ableitung:

$$ { e }^{ { -\frac { 1 }{ 2 } (x-1) }^{ 2 } }*\quad { (x-1) }^{ 2 }\quad -{ e }^{ -\frac { 1 }{ 2 } { (x-1) }^{ 2 } } $$

???

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Also die Produktregel geht

u'*v + u*v'

e^[-0,5*(x-1)^2] * (1-x) * (1-x) + e^[-0,5*(x-1)^2]*(-1)

e^[-0,5*(x-1)^2] * [(1-x)^2-1]

e^[-0,5*(x-1)^2] * (x^2-2x)

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Die zweite Ableitung ist richtig. Ich habe so abgeleitet:

$$ y = { e }^{ { -\frac { 1 }{ 2 } (x-1) }^{ 2 } } \\y' = -\left(x-1\right)\cdot { e }^{ { -\frac { 1 }{ 2 } (x-1) }^{ 2 } } \\y'' = \left(-1 + \left(x-1\right)^2\right)\cdot { e }^{ { -\frac { 1 }{ 2 } (x-1) }^{ 2 } }$$Mit etwas Übung geht das ohne irgendwelche Zwischenschritte und ohne Veheddern in Ableitungsregeln.

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Okay!

!!!