Wie groß ist die Fläche des größeren Dreiecks?

0 Daumen
185 Aufrufe
Das kleinere Dreieck hat eine Fläche von 240 Quadrat-Zentimeter. Das größere Dreieck ist ähnlich zum kleinen Dreieck und hat Seiten, die ein Drittel größer sind als die des kleinen Dreiecks.

Wie groß ist die Fläche des größeren Dreiecks?
Gefragt 16 Okt 2012 von Gast hj2333

1 Antwort

+1 Punkt
 
Beste Antwort

"Ähnlich" bedeutet, dass alle Seiten mit dem gleichen Faktor skaliert sind.

 

Hat das Dreieck davor also die Seiten a, b und c, dann hat es jetzt die Seiten

a+a/3 = 4a/3

b+b/3 = 4b/3

c+c/3 = 4c/3

Ein Beispiel dafür ist das folgende Bild:

Dreieck ABC

Die beiden Dreiecke ABC und AED sind ähnlich, AED ist um den Faktor 4/3 größer als ABC.

Der Flächeninhalt des Dreiecks ist nun 1/2*gh, wobei g die Länge einer Grundseite und h die Länge der darauf stehenden Höhe ist.

Ich zeichne das einmal ein:

Ähnliches vergrößertes Dreieck

Für den Flächeninhalt f des kleinen Dreiecks gilt also:
f = 1/2 * |CB| * |FA|

Für den Flächeninhalt F des großen Dreiecks:

F = 1/2 * |ED| * |GA|

Wir wissen bereits, dass |ED| = 4/3*|CB| ist, denn die Seiten des Dreiecks wurden alle um ein Drittel vergrößert.

Wie sieht aber das Verhältnis von |FA| und |GA| aus?
Nach dem Strahlensatz gilt

|AD|/|AC| = |GA|/|FA|

Das Verhältnis links ist aber bekannt, denn |AD| = 4/3* |AC| also |AD|/|AC| = 4/3

Also gilt auch:

4/3 = |GA|/|FA|   |*|FA|

|GA| = 4/3 |FA|

Setzt man alles das, in die Formel für F ein, so folgt:

F = 1/2 * |ED| * |GA|

F = 1/2 * 4/3*|CB| * 4/3 * |FA|

F = 16/9 * (1/2 * |CB|*|FA|)

F = 16/9 * f

Setzt man nun f=240 ein, so erhält man:
F = 16/9 * 240 = 1280/3 ≈ 426.67

 

Das große Dreieck ist also rund 426.67 cm2 groß.

 

Beantwortet 16 Okt 2012 von Julian Mi Experte X

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und ohne Registrierung

x
Made by Memelpower
...