Übungsaufgabe Folgen und Reihen

Question

In einem Konzertsaal gibt es 10 Reihen Sitze. In der ersten Reihe sind 10 Sitze, danach nimmt die Anzahl der Sitze pro Reihe um 4 Sitze zu. Wie viele Plätze hat man im Saal?

Arithmetische Folge für n ≥ 1: a1 = 10 an+1 = an + 4.
Um die Formeln zu nutzen, setzt man a0 = 6 und zieht am Ende 6 Plätze ab:

s10 = (6 + 6 + 10 · 4) · 11 = 286, also 280 Plätze. 

Übungsaufgabe: Wie viele Reihen gibt es für mindestens 300 Plätze (→ sn − 6 ≥ 300)? Und für mindestens 500? 

Answer 1

>  s10 = 1/2 • (6 + 6 + 10 · 4) · 11 = 286, also 280 Plätze.     wäre richtig

allgemein für n Reihen:  s_n - 6 = 1/2 • ( 12 + 4n) • (n+1) - 6  = 2·n² + 8·n

Für mindestens p Plätze:

2·n² + 8·n ≥ p   | : 2

n² + 4n ≥ p/2    |  quadratisch ergänzen:

n² + 4n + 2² ≥ p/2 + 4   | 1. binomische Formel:

(n+2)² ≥  p/2+4  | √  , definiert, weil p positiv ist

 n+2  ≥  √(p/2+4)   ,  weil n positiv ist

n ≥ - 2 + √(p/2+4)  

für mindestens 300 Plätze:  n ≥ -2 + √154  ≈ 10,4   → 11 Reihen (erkennt man auch ohne Rechnung sofort :-))

für mindestens 500 Plätze:  n ≥ -2 + √254  ≈ 13,9   → 14 Reihen

 Gruß Wolfgang