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Verlängert man die eine Diagonale einer Raute um 6 cm und verkürzt die andere um 2 cm, so entsteht eine Raute mit gleicher Seitenlänge aber einen um 40 cm2 größeren Flächeninhalt. Berechne (1) die Längen der Diagonalen, (2) die Seitenlänge der ursprünglichen Raute!

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Verlängert man die eine Diagonale einer Raute um 6 cm und verkürzt die andere um 2 cm, so entsteht eine Raute mit gleicher Seitenlänge aber einen um 40 cm2 größeren Flächeninhalt. Berechne (1) die Längen der Diagonalen, (2) die Seitenlänge der ursprünglichen Raute!


vorher  A1 = e*f/2    nachher   A2 = (e+6)(f-2)/2 

e*f/2 +40 = (e+6)(f-2)/2   gibt e = 3f - 46     #

und gleiche Seitenlänge heißt mit Pythagoras in beiden Rauten

(e/2)^2 + (f/2)^2 = ((e+6)/2)^2 + ((f-2)/2)^2 gibt 4f-12e=40 also f=3e+10

dann in # einsetzen   gibt e=2 und dann f=16

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1/2 · (d1+6) · (d2-2) = 1/2 · d1·d2 + 40

(d1/2)2 + (d2/2)2 =  ((d1+6)/2)2 + ((d2-2)/2)2

Löse das Gleichungssystem um die Längen d1 und d2 der Diagonalen zu bestimmen. Die Seiten habe die Länge √((d1/2)2 + (d2/2)2).

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Die Diagonalen der kleineren Raute sind d und e. Dann ist deren Fläche de/2.
Die Diagonalen der größeren Raute sind d+6 und e-2. Dann ist deren Fläche (d+6)(e-2)/2.
Erste Gleichung de/2+40=(d+6)(e-2)/2. vereinfacht zu de+80=(d+6)(e-2)
Nach Pythagoras gilt (d/2)2+(e/2)2=((d+6)/2)2+((e-2)/2)2
oder  zweite Gleichung d2+e2=(d+6)2+(e-2)2
damt sind zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten gewonnen, mit den Lösungen d=2 und e=16. Die Seitenlänge ist dann √65.
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