Stetigkeit und Differenzierbarkeit einer Funktion

Question

ich habe Probleme bei einer Aufgabe:
Untersuchen Sie die Funktion f : R → R mit f(x) =|x| * ln|x| (für x ungleich 0) und f(x) = 0 (für x = 0) auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit in R.
Stetigkeit muss man ja mit dem Epsilon-Delta-Kriterium beweisen, aber das Problem ist, dass (f(x)-f(xo)) für x ungleich 0 nicht zu berechnen ist, da es ln|0| nicht gibt. Wie soll ich das dann abschätzen?Und bei der Differenzierbarkeit weiß ich nicht, wie ich genau vorgehen soll.Kann mir bitte jemand weiterhelfen?

Grüße

Comments

Bekanntlich ist eine Funktion \(f\) stetig an einer Stelle \(x_0\), wenn der Grenzwert \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\) existiert und \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\) ist. Nach l'Hospital gilt$$\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}\vert x\vert\cdot\ln\vert x\vert=\lim_{x\to0}\frac{\ln\vert x\vert}{\frac1{\vert x\vert}}=\lim_{x\to0}\frac{\frac1x}{-\frac1{x\cdot\vert x\vert}}=\lim_{x\to0}(-\vert x\vert)=0=f(0).$$Die Funktion ist also an der Stelle \(0\) stetig. Zeige mithilfe des Differenzenquotienten, dass die Funktion an dieser Stelle nicht differenzierbar ist.

---

Danke für deine Antwort! Aber wie genau soll ich das dann machen? Weil wenn ich mich von rechts und von links annähere, so ist es immer dieselbe Funktion, nämlich ln|x|*|x|, also wird wahrscheinlich auch derselbe Grenzwert herauskommen. Und ein weiteres Problem ist, dass die Funktion auch bei x = 1 nicht differenzierbar ist. Muss ich das auch irgendwie erwähnen? 

Answer 1

Stetigkeit muss man ja mit dem Epsilon-Delta-Kriterium beweisen, aber das Problem ist, dass (f(x)-f(xo)) für x ungleich 0 nicht zu berechnen ist, da es ln|0| nicht gibt.

Aber bei x=0 ist ja der Funktionswert extra definiert, mit f(0) = 0.

Für x≠0 ist ja eh alles klar.  Quotient steiger Funktionen.

Für x=0 betrachte f(x) - f(0) =  f(x) .

Comments

Danke für deine Antwort, aber ich hätte zwei Fragen: 1. Was meinst du mit Quotient steigender Funktionen? Kann man das formal einfach so aufschreiben und damit die Stetigkeit für x ungleich 0 zeigen? 

2. "Für x=0 betrachte f(x)-f(0)", also 0-0 oder |x| * ln|x|-0?

---

Tippfehler: Quotient stetiger Funktionen  meinte ich.

Also Anwendung des Satzes: wenn f stetig bei a und g stetig bei a und g(a) ≠ 0

dann auch f/g  stetig bei a.

---

Und inwiefern ist |x| * ln|x| ein Quotient?

---

Pardon, aber der Satz gilt ja auch für Produkte.