Zeigen Sie, dass die Anzahl der Bestellungen binomialverteilt ist.

Question

Im Callcenter eines Unternehmens werden Auftragsbestellungen und

Kundenbeschwerden entgegen genommen. Die Anzahl der Bestellungen

und Beschwerden, die in einem xen Zeitraum eingehen, sind unabh

angig poissonverteilt mit den Parametern 1 und 2. Zeigen Sie,

dass die Anzahl der Bestellungen, wenn die Anzahl der gesamt eingegangenen

Anrufe bekannt ist, binomialverteilt ist.

Hallo..

kann mir bitte jemand bei diese Aufgabe helfen ?

lg

Answer 1

eine unter Umständen zu einfache Erklärung geht so:

Da die beiden Zufallsgrößen \( X_1 \) (Anzahl der Bestellungen) und \( X_2 \) (Anzahl der Beschwerden) poissonverteilt mit den Parametern \( \lambda_1 = 1 \) und \( \lambda_2 = 2 \) sind, sind ihre Erwartungswerte \( \mathbb{E}[X_1] = \lambda_1 \) und \( \mathbb{E}[X_2] = \lambda_2 \).

Der Erwartungswert der Summe von \( X_1 \) und \( X_2 \), also der Anzahl aller Anrufe, ist \( \mathbb{E}[X_1 + X_2] = \mathbb{E}[X_1] + \mathbb{E}[X_2] = \lambda_1 + \lambda_2 = 3 \), da \( X_1 \) und \( X_2 \) unabhängig sind.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Anruf eine Bestellung ist, ist folglich \( \frac{\lambda_1}{\lambda_1 + \lambda_2} = \frac{1}{3} \). Die Anzahl der Bestellungen unter \( n \) Anrufen ist folglich binomialverteilt mit \( n \) und \( p=\frac{1}{3} \).

Mister