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Aufgabe: Integration durch Partialbruchzerlegung

Bestimmen Sie das folgende Integral mit Hilfe einer Partialbruchzerlegung:

$$ \int \frac { - 3 x ^ { 2 } + 3 x - 4 } { x ^ { 3 } + 4 x ^ { 2 } + 4 x } d x $$

von
Probiere es mal mit HN: x(x+2)^2

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Anderer Vorschlag:

f(x) = (-3*x^2 + 3*x - 4) / (x^3 + 4*x^2 + 4*x)

Nennerfaktorisierung, Zähler und Nenner sind teilerfremd, daher der Ansatz

(-3*x^2 + 3*x - 4) / (x*(x + 2)^2) = A / x + B / (x + 2) + C / (x + 2)^2

Multiplikation mit Hauptnenner:

-3*x^2 + 3*x - 4 = A * (x + 2)^2  + B * x * (x + 2) + C * x

An dieser Stelle ist Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich meistens der umständlichste Weg. Geschickter ist es hier, Werte einzusetzen:

Mit x = -2 folgt -22 = -2C, also C = 11, mit x = 0 folgt -4 = 4A, also A = -1. Dies eingesetzt ergibt:

-2*x^2 - 4*x = B * x * (x + 2)   |   Faktorisieren der linken Seite

-2 * x * (x + 2) = B * x * (x + 2)   |   Kürzen, was geht und damit ist

- 2 = B.

Das ist deutlich weniger rechenaufwändig und sicher hier der intendierte Lösungsweg.
Die Zerlegung und das daraus berechnete unbestimmte Integral lauten also:

f(x) = (-3*x^2 + 3*x - 4) / (x^3 + 4*x^2 + 4*x) = -1/x - 2/(x + 2) + 11/(x + 2)^2

∫ f(x) dx = -ln(abs(x)) -2*ln(abs(x+2)) -11/(x+2) + C = ln(abs(1/(x*(x+2)^2)) - 11/(x+2) + C.

von
+3 Daumen

f(x) = (-3x^2 + 3x - 4) / (x^3 + 4x^2 + 4x)

Wir fakorisieren den Nenner

f(x) = (-3x^2 + 3x - 4) / (x(x + 2)^2)

Ich schreibe die Partialbruchzerlegung also zunächst in der allgemeinen Form auf

f(x) = A / x + B / (x + 2) + C / (x + 2)^2

Das bringt man jetzt auf einen Hauptnenner

f(x) = (A(x2+4x+4) + B(x2+2x) + Cx) / (x(x + 2)^2)

Wir multiplizieren den Zähler aus und sortieren nach den Potenzen von x

f(x) = ((A + B)x2 + (4A + 2B + C)x + 4A) / (x(x + 2)^2)

Wir machen ein Koeffizientenvergleich

A + B = -3
4A + 2B + C = 3
4A = -4

Wir erhalten die Lösung

A = -1, B = -2 und C = 11

Damit ergibt sich folgende Partialbruchzerlegung

f(x) = (-3x^2 + 3x - 4) / (x^3 + 4x^2 + 4x) = -1/x - 2/(x + 2) + 11/(x+2)^2

Wir integrieren alle 3 Summanen einzeln:

F(x) = -ln(x) - 2·ln(x + 2) - 11/(x + 2)

Die Integrationskonstante lasse ich wie immer weg.

von 271 k
Schöner und klarer Lösungsweg. Ich würde zwar die Integrationskonstante immer angeben.

Aus Antwort zum Duplikat:

f(x) = (-3x2 + 3x -4) / (x3 + 4x2 + 4x)

Wir Faktorisieren den Nenner über Nullstellensuche

(x3 + 4x2 + 4x) = x*(x + 2)2

Daher vermuten wir eine Partialbruchzerlegung der Form

(-3x2 + 3x - 4) / (x3 + 4x2 + 4x) = a/x + b/(x + 2) + c/(x + 2)2
Multiplizieren mit x * (x + 2)2

-3x2 + 3x -4 = a(x + 2)2 + b*x*(x + 2) + cx

Ich setzte jetzt für a, b und c drei Werte ein.
-3x2 + 3x -4 = a(x + 2)2 + b*x*(x + 2) + cx mit x = 0
-4 = 4·a
a = -1

-3x2 + 3x -4 = a(x + 2)2 + b*x*(x + 2) + cx mit x = -2
-22 = - 2·c
c = 11

-3x2 + 3x -4 = a(x + 2)2 + b*x*(x + 2) + cx mit x = 1
-4 = 9·a + 3·b + c
-4 = 9·(-1) + 3·b + 11
b = -2

Die Partialbruchzerlegung lautet daher

f(x) = (-3x2 + 3x - 4) / (x3 + 4x2 + 4x) = -1/x - 2/(x + 2) + 11/(x + 2)2

Wir integrieren jetzt alle Summanden getrennt und erhalten.

F(x) = -ln(x) - 2*ln(x + 2) - 11/(x + 2)

kann jemand bitte erklären warum kommt B/(x+2) bei der PBZ Algemeiner Form?

Weil (x+2) ja ein Faktor im Nenner war der sogar zum Quadrat stand. Dann braucht man hier auch zwei Ansätze also B und C.
musste denn Nenner nicht gleich sein ? also wenn ich die Nenner vergleiche,

dann (x^3 + 4x^2 + 4x) ist nicht gleich mit x(x+2)(x+2)^2  , funktioniert das trotzdem ?

Das gilt bei mehrfachen Nullstellen, das du die dann in allen Potenzen einbeziehen muss. weil du sonst zu wenig Parameter hast.

Du kannst

A/x + B/(x+2) + C/(x+2)2 auf den Gewünschten Hauptnenner bringen und das ist es was hier zählt.

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