Limes aus Wurzel aus der Folge an ist gleich Wurzel a?

Question

E sei a_n Folge positiver reeler Zahlen mit lim a_n=a

Zeige dass lim√a_n=√a gilt

Ich hätte jetzt

ε>0 Ia_n-aI<ε

I√a_n - √aI ≤ (Ia_n-aI)/I√a_n - √aI< (ε√a)/√a=ε

aber mir scheint das nicht so korrekt.

Answer 1

Du musst ja zeigen:  Für jedes eps>0 gibt es ein N mit

n > N hat zur Folge  | √a_n - √a |  < eps 

Erweitere mit  √a_n + √a ist positiv also gleich |   √a_n + √a|

nach Erweitern bleibt zu zeigen

  | √a_n - √a | *   |   √a_n + √a|  /    |   √a_n + √a|    < eps  

beide Seiten mal  |   √a_n + √a| gibt    ( da positiv )

| √a_n - √a | *   |   √a_n + √a|  /    <    | √a_n + √a|    *  eps  

3. binomi

| an - a |   <    | √a_n + √a|    *  eps  

und für jedes pos. eps ist      | √a_n + √a|    *  eps  auch ein positives eps1,

also existiert nach Vor. ein N mit N > n ⇒  | an - a |   <       eps1  .

Also ist dieses N  das gesuchte.